[论文解读] Subvarieties of the hyperelliptic moduli determined by group actions

Tony Shaska|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文通过利用有限子群的表示和Riemann-Hurwitz公式，确定了所有可能的自同构群$G$及其关联的分歧类型$σ$，对$g \geq 2$的双椭圆曲线提供了统一的代数分类。该研究推导出每个局部空间$χ_g(G,σ)$中通用曲线的显式方程，计算了每个局部空间的维数，并通过GAP计算实现，构建了任意固定亏格下这些局部空间之间的完整包含格。

ABSTRACT

Let $\mathcal H_g$ be the moduli space of genus $g$ hyperelliptic curves. In this note, we study the locus $\mathcal L$ in $\mathcal H_g$ of curves admitting a $G$-action of given ramification type $σ$ and inclusions between such loci. For each genus we determine the list of all possible groups, the inclusions among the loci, and the corresponding equations of the generic curve in $\mathcal L$. The proof of the results is based solely on representations of finite subgroups of $PGL_2 (\mathbb C)$ and the Riemann-Hurwitz formula.

研究动机与目标

• 为代数闭域上特征为零的双椭圆曲线的自同构群提供统一的代数框架。
• 确定在给定亏格$g \geq 2$下，可能作为双椭圆曲线完整自同构群的有限群$G$的所有可能形式。
• 基于群作用的签名，计算双椭圆模空间中每个局部空间$χ_g(G,\sigma)$的维数。
• 通过有理函数分解，推导每个$χ_g(G,\sigma)$局部空间中通用曲线的参数方程。
• 使用计算群论，为固定亏格$g$构建所有此类局部空间$χ_g(G,\sigma)$的完整包含格。

提出的方法

• 利用$PGL_2(\mathbb{C})$的有限子群的表示，对可能的约化自同构群$¯{G}$（同构于$ζ_n$、$D_n$、$A_4$、$S_4$或$A_5$）进行分类。
• 应用Riemann-Hurwitz公式，从群作用的签名计算每个局部空间$χ_g(G,\sigma)$的维数。
• 构造有理函数$φ(x)$，使其生成固定域$k(x)^{¯{G}}$，从而确定$y^2 = f(x)$中多项式$f(x)$的分解类型。
• 通过将$φ(x)$分解为$x^n$或$x^n + c$等形式，推导$χ_g(G,\sigma)$中通用曲线的参数方程，得到如$y^2 = f(x^n)$的方程。
• 基于GAP的算法实现，列出所有亏格$g$曲线的自同构群$G$，按群阶和库索引排序，并计算子群包含的关联矩阵。
• 利用Weierstrass点作为$φ(x)$在分支点处的纤维$φ^{-1}(\lambda)$，分析分歧与曲线结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限群$G$可作为亏格$g$的双椭圆曲线的完整自同构群？
• RQ2 对于每个此类群$G$，其在曲线上作用的可能分歧类型$σ$有哪些？
• RQ3 局部子簇$χ_g(G,\sigma)$在双椭圆模空间$χ_g$中的维数是多少？
• RQ4 如何通过有理函数分解，显式写出$χ_g(G,\sigma)$中通用曲线的方程？
• RQ5 对于固定亏格$g$，所有局部空间$χ_g(G,\sigma)$的完整包含格是什么？子群包含关系如何转化为局部空间的包含关系？

主要发现

• 对于每个$g \geq 2$，本文列出了所有可能出现的自同构群$G$，且完整自同构群$G$满足$|G| \leq 8(g+1)$。
• 局部空间$χ_g(G,\sigma)$的维数仅取决于$G$-作用的签名$σ$，并通过Riemann-Hurwitz公式计算得出。
• $χ_g(G,\sigma)$中通用曲线的方程可表示为$y^2 = f(x)$，其中$f(x)$由与$¯{G}$相关的有理函数$φ(x)$的分解构造而成。
• 对于亏格4，自同构群的格包含11个不同的群，按维数和群阶排序为：$Z_2$、$V_4$、$Z_4$、$Z_6$、$D_8$、$G_2$、$D_{16}$、$Z_2 \times D_{10}$、$Z_{18}$、$SL_2(3)$、$U_8$。
• 本文为32个曲线族提供了显式方程，包括$y^2 = (x^8 + 14x^4 + 1) \cdot G(x)$和$y^2 = (x^{20} - 228x^{15} + 494x^{10} + 228x^5 + 1) \cdot \Lambda(x)$等形式，其中$Λ(x)$及其他基多项式通过递归方式定义。
• 所有满足$|\mathrm{Aut}(\mathcal{X}_g)| > 2$的双椭圆曲线均满足不变量$I_4(f) = 0$，这是存在额外自同构的必要条件。