[论文解读] Succinct quantum proofs for properties of finite groups

John Watrous|ArXiv.org|Sep 8, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用 27

一句话总结

本文展示了在黑箱有限群模型中，量子证明（QMA）能够简洁地验证群非成员资格及其他群性质，而经典证明（MA）则无法做到。研究证明，对于任意群预言机，群非成员资格属于QMA；但存在一个预言机使得该问题不属于MA，从而在该预言机下确立了BQP不包含于MA。

ABSTRACT

In this paper we consider a quantum computational variant of nondeterminism based on the notion of a quantum proof, which is a quantum state that plays a role similar to a certificate in an NP-type proof. Specifically, we consider quantum proofs for properties of black-box groups, which are finite groups whose elements are encoded as strings of a given length and whose group operations are performed by a group oracle. We prove that for an arbitrary group oracle there exist succinct (polynomial-length) quantum proofs for the Group Non-Membership problem that can be checked with small error in polynomial time on a quantum computer. Classically this is impossible--it is proved that there exists a group oracle relative to which this problem does not have succinct proofs that can be checked classically with bounded error in polynomial time (i.e., the problem is not in MA relative to the group oracle constructed). By considering a certain subproblem of the Group Non-Membership problem we obtain a simple proof that there exists an oracle relative to which BQP is not contained in MA. Finally, we show that quantum proofs for non-membership and classical proofs for various other group properties can be combined to yield succinct quantum proofs for other group properties not having succinct proofs in the classical setting, such as verifying that a number divides the order of a group and verifying that a group is not a simple group.

研究动机与目标

• 研究在黑箱有限群背景下，量子证明（QMA）的能力。
• 确定量子证明是否能比经典证明更高效地解决群非成员资格问题。
• 在黑箱群模型中，建立量子与经典证明系统之间的分离。
• 结合量子与经典证明，为复杂群论性质构造简洁的量子证明。
• 探讨这些结果对BQP与MA在预言机环境下关系的启示。

提出的方法

• 使用量子证明（量子证书）来验证群元素生成的子群中的非成员资格。
• 采用具有有界误差的量子验证过程，在多项式时间内检查成员资格。
• 构造一个特定的群预言机，以证明在该预言机下，群非成员资格不属于MA。
• 将非成员资格的量子证明与子群性质的经典证书相结合，构建复合问题的证明。
• 应用可达性定理与群论构造，验证诸如阶的因子、群的简单性等性质。
• 利用某些群性质（例如正规性、p-子群塔）存在经典证书的事实，将其与量子非成员资格证明相结合。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子证明能否在黑箱群中为群非成员资格提供简洁的验证？
• RQ2 是否存在一个预言机，使得群非成员资格不属于MA但属于QMA？
• RQ3 量子证明能否与经典证书结合，为复杂群性质生成简洁证明？
• RQ4 群性质是否存在简洁量子证明，是否意味着BQP与MA之间存在分离？
• RQ5 在群论问题背景下，QMA与其他复杂度类（如PP或co-NP）之间的关系是什么？

主要发现

• 对于任意群预言机，群非成员资格属于QMA，意味着存在长度为多项式的量子证明，可在有界误差下以多项式时间验证。
• 存在一个群预言机，使得群非成员资格不属于MA，从而在黑箱群模型中实现了QMA与MA之间的分离。
• 该分离意味着在该预言机下，BQP不包含于MA，从而确立了BQP与MA之间的相对化分离。
• 即使在某些预言机下，验证某个数整除群的阶的问题不属于MA，但依然存在简洁的量子证明。
• 非成员资格的量子证明可与经典证书结合，为诸如真子群、简单性、交集、中心化子及极大正规子群等性质生成简洁的量子证明。
• QMA类包含于PP，本文表明QMA可能被PP上界所限制，尽管更紧的界仍有待确定。