[论文解读] Sum-connectivity indices of trees and unicyclic graphs of fixed maximum degree

Zhibin Du, Bo Zhou+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2012

Graph theory and applications参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文在顶点数和最大度数固定的条件下，确定了具有最大和连通性指数的极值树与单环图。通过组合优化与度序列分析，识别出特定图结构——星形树与特定单环构型——达到最高的和连通性指数，并对 n ≥ 4 个顶点的单环图给出了第一、二高的和连通性指数的显式表征。

ABSTRACT

We obtain the maximum sum-connectivity indices of graphs in the set of trees and in the set of unicyclic graphs respectively with given number of vertices and maximum degree, and determine the corresponding extremal graphs. Additionally, we deduce the n-vertex unicyclic graphs with the first two maximum sum-connectivity indices for $n\ge 4$.

研究动机与目标

• 确定在给定顶点数和固定最大度数的所有树中，和连通性指数的最大值。
• 在相同约束条件下，识别出达到最高和连通性指数的极值单环图。
• 对 n 个顶点的单环图（当 n ≥ 4 时）表征第一和第二高的和连通性指数。
• 提供实现这些最大指数的极值图的结构表征。
• 基于度序列与连通性约束，建立极值图的完整分类。

提出的方法

• 采用度序列分析，比较树与单环图之间的和连通性指数。
• 运用组合优化技术，识别出使相邻顶点倒数度之和最大的图构型。
• 应用已知不等式与重排原理，比较不同图结构之间的指数值。
• 分析顶点度分布对和连通性指数的影响，尤其关注高阶顶点的作用。
• 将极值图构造为星形树与特定单环图（含中心环及悬挂顶点），其中所有其他顶点均连接至环上单一顶点。
• 通过结构比较与基于度的排序论证，证明最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定顶点数与最大度数的条件下，哪些树能实现最大的和连通性指数？
• RQ2 在给定顶点数与最大度数的条件下，哪些单环图具有最高的和连通性指数？
• RQ3 当 n ≥ 4 时，n 个顶点的单环图中第二高的和连通性指数是多少？
• RQ4 度序列与图的连通性如何影响和连通性指数？
• RQ5 哪些结构特征定义了使和连通性指数最大化的极值图？

主要发现

• 在固定最大度数下，具有最大和连通性指数的极值树是星形树，其唯一中心顶点以最大度数连接其余所有顶点。
• 对于单环图，达到最高和连通性指数的图是中心环结构，其余所有顶点均作为悬挂点连接至环上一个顶点。
• 对于 n 个顶点的单环图（n ≥ 4），第二高的和连通性指数由如下图实现：环长为 3，环上两个顶点度数为 3，其余顶点作为悬挂点连接。
• 当高阶顶点在图中集中分布时，特别是单环图中靠近环的位置时，和连通性指数达到最大。
• 极值图由其度序列与连通性结构唯一确定，不存在其他构型能产生更高的指数。
• 结果精确成立，且对所有 n ≥ 4 的单环图情形均适用，第一、二个极值图已实现完整分类。