[论文解读] Sum-of-Squares Decomposition and Augmented Vandermonde Decomposition of Strong Hankel Tensors: Theory and Algorithms

Weiyang Ding, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 12被引用 1

一句话总结

本文建立了强汉克尔张量的继承性质，证明了当通过缩放将低阶汉克尔张量提升至高阶时，正半定性、正定性以及平方和（SOS）结构均被保留。论文提供了显式的平方和分解，并利用关联的汉克尔矩阵界定了极值H-特征值，为张量正定性分析提供了理论与算法框架。

ABSTRACT

In this paper, we show that if a lower-order Hankel tensor is positive semi-definite (or positive definite, or negative semi-definite, or negative definite, or SOS), then its associated higher-order Hankel tensor with the same generating vector, where the higher order is a multiple of the lower order, is also positive semi-definite (or positive definite, or negative semi-definite, or negative definite, or SOS, respectively). Furthermore, in this case, the extremal H-eigenvalues of the higher order tensor are bounded by the extremal H-eigenvalues of the lower order tensor, multiplied with some constants. Based on this inheritance property, we give a concrete sum-of-squares decomposition for each strong Hankel tensor. Then we prove the second inheritance property of Hankel tensors, i.e., a Hankel tensor has no negative (or non-positive, or positive, or nonnegative) H-eigenvalues if the associated Hankel matrix of that Hankel tensor has no negative (or non-positive, or positive, or nonnegative, respectively) eigenvalues. In this case, the extremal H-eigenvalues of the Hankel tensor are also bounded by the extremal eigenvalues of the associated Hankel matrix, multiplied with some constants. The third inheritance property of Hankel tensors is raised as a conjecture.

研究动机与目标

• 建立不同阶数与正定类型下汉克尔张量的理论继承性质。
• 为强汉克尔张量开发显式的平方和分解方法。
• 利用低阶对应物及其关联汉克尔矩阵，界定高阶汉克尔张量的极值H-特征值。
• 研究张量正定性与其关联汉克尔矩阵正定性之间的关系。
• 提出一个关于汉克尔张量第三种继承性质的猜想，以供未来研究。

提出的方法

• 利用汉克尔张量的结构，证明当通过重复原始阶数的倍数重复生成向量形成高阶张量时，正定性与SOS性质得以继承。
• 基于低阶张量的SOS结构继承，为强汉克尔张量推导出显式的平方和分解。
• 建立高阶张量极值H-特征值的界，作为低阶张量极值H-特征值的标量倍数。
• 通过分析关联汉克尔矩阵的谱性质，推断对应汉克尔张量的正定性与特征值界。
• 引入第二种继承性质，将张量H-特征值符号与关联汉克尔矩阵的特征值符号联系起来。
• 提出一个关于第三种继承性质的猜想，表明汉克尔张量中可能存在更广泛的谱对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 低阶汉克尔张量的正半定性是否意味着使用相同生成向量的高阶扩展也正半定？
• RQ2 能否基于低阶性质为任意强汉克尔张量构造显式的平方和分解？
• RQ3 高阶汉克尔张量的极值H-特征值与低阶对应物的极值H-特征值有何关系？
• RQ4 在何种条件下，关联汉克尔矩阵的正定性可推出汉克尔张量的相同正定性？
• RQ5 汉克尔张量与其关联汉克尔矩阵之间的谱关系本质为何？该关系能否推广？

主要发现

• 低阶正半定汉克尔张量可确保使用相同生成向量的高阶扩展同样正半定。
• 高阶张量的极值H-特征值被低阶张量的极值H-特征值乘以常数因子所界定。
• 基于其低阶继承性质，为每个强汉克尔张量构造了显式的平方和分解。
• 关联汉克尔矩阵的特征值符号决定了汉克尔张量的H-特征值符号，确立了第二种继承性质。
• 汉克尔张量的极值H-特征值被关联汉克尔矩阵的极值特征值按常数因子缩放后所界定。
• 提出第三种继承性质作为猜想，暗示汉克尔张量中存在更深层次的谱关联。