[论文解读] Sum-of-squares lower bounds for planted clique

Raghu Meka, Aaron Potechin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用 13

一句话总结

该论文首次建立了求和平方（SOS）层级在解决植入团问题中的平均情况下界，表明当且仅当 k ≥ (√n / log n)^{1/r} / C^r 时，r 轮 SOS 才能发现大小为 k 的植入团。该结果依赖于构造一个满足 SOS 约束的伪期望算子，且在高概率下成立，使用了关联方案和依赖随机矩阵谱范数界等工具。

ABSTRACT

Finding cliques in random graphs and the closely related "planted" clique variant, where a clique of size k is planted in a random G(n, 1/2) graph, have been the focus of substantial study in algorithm design. Despite much effort, the best known polynomial-time algorithms only solve the problem for k ~ sqrt(n). In this paper we study the complexity of the planted clique problem under algorithms from the Sum-of-squares hierarchy. We prove the first average case lower bound for this model: for almost all graphs in G(n,1/2), r rounds of the SOS hierarchy cannot find a planted k-clique unless k > n^{1/2r} (up to logarithmic factors). Thus, for any constant number of rounds planted cliques of size n^{o(1)} cannot be found by this powerful class of algorithms. This is shown via an integrability gap for the natural formulation of maximum clique problem on random graphs for SOS and Lasserre hierarchies, which in turn follow from degree lower bounds for the Positivestellensatz proof system. We follow the usual recipe for such proofs. First, we introduce a natural "dual certificate" (also known as a "vector-solution" or "pseudo-expectation") for the given system of polynomial equations representing the problem for every fixed input graph. Then we show that the matrix associated with this dual certificate is PSD (positive semi-definite) with high probability over the choice of the input graph.This requires the use of certain tools. One is the theory of association schemes, and in particular the eigenspaces and eigenvalues of the Johnson scheme. Another is a combinatorial method we develop to compute (via traces) norm bounds for certain random matrices whose entries are highly dependent; we hope this method will be useful elsewhere.

研究动机与目标

• 建立求和平方（SOS）层级在解决植入团问题中的平均情况下界。
• 证明常数轮次的 SOS 算法无法找到大小为 o(√n) 的植入团，从而打破平方根障碍。
• 在随机 G(n,1/2) 图上，构造一个满足 SOS 约束的高概率伪期望算子（对偶证书）。
• 证明在随机图上，最大团问题的自然 SOS 松弛的整数规划间隙。
• 开发组合工具，用于界定具有高度依赖性条目的随机矩阵的谱范数。

提出的方法

• 为 G(n,1/2) 图上的最大团问题多项式系统构造一个伪期望算子（对偶证书）。
• 通过谱分析证明对偶证书相关的矩阵以高概率为正定（PSD）。
• 利用关联方案理论中 Johnson 方案的特征子空间和特征值来分析矩阵结构。
• 基于迹的新型组合方法，用于界定具有强局部依赖性的随机矩阵的谱范数。
• 通过整数规划间隙构造，将 SOS 下界转化为 Positivstellensatz 证明系统中的次数下界。
• 应用集中不等式（如 McDiarmid 不等式）以控制随机邻域中团数的波动。

实验结果

研究问题

• RQ1 常数轮次的求和平方算法能否在随机图中找到大小为 o(√n) 的植入团？
• RQ2 在 G(n,1/2,k) 中，r 轮 SOS 层级能检测到多小的 k-团？
• RQ3 在随机 G(n,1/2) 图上，最大团问题的自然 SOS 松弛是否存在整数规划间隙？
• RQ4 能否利用关联方案中的谱与组合工具证明平均情况问题的 SOS 下界？
• RQ5 SOS 层级在植入团问题上的最紧可能下界是什么？它与已知的 O(√n) 上界相差多远？

主要发现

• 以高概率，除非 k ≥ (√n / log n)^{1/r} / C^r，否则 r 轮 SOS 层级无法找到大小为 k 的植入团。
• 在随机图 G(n,1/2) 上，最大团问题的自然 r 轮 SOS 松弛具有至少 n^{1/2r} / (C^r (log n)^2) 的整数规划间隙。
• 证明中使用的对偶证书（伪期望）在随机图模型下以高概率为正定。
• 该证明依赖于 Johnson 方案的谱分析，以及一种界定局部依赖随机矩阵范数的新方法。
• 整数规划间隙构造表明，即使 O(log n) 轮 SOS 也无法解决 k = (log n)^{O(1)} 时的植入团问题。
• 该下界在对数因子范围内是紧的，因为 SOS 的最佳已知上界为 O(√n / 2^r)，当 r = o(log n) 时仍存在差距。