[论文解读] Summation Theory II: Characterizations of $\boldsymbol{R\Pi\Sigma^*}$-extensions and algorithmic aspects

Carsten Schneider|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 38被引用 30

一句话总结

本文通过将 RΠΣ∗-扩张的简洁性、交错结构与序列环中的可嵌入性相联系，提供了对 RΠΣ∗-扩张——一种用于处理嵌套求和、乘积及单位根的符号求和代数结构——的新表征。在常数稳定的基域下，这些性质等价，从而实现了对嵌套求和代数独立性的算法验证，以及参数化叠缩问题的高效求解。

ABSTRACT

Recently, $R\Pi\Sigma^*$-extensions have been introduced which extend Karr's $\Pi\Sigma^*$-fields substantially: one can represent expressions not only in terms of transcendental sums and products, but one can work also with products over primitive roots of unity. Since one can solve the parameterized telescoping problem in such rings, covering as special cases the summation paradigms of telescoping and creative telescoping, one obtains a rather flexible toolbox for symbolic summation. This article is the continuation of this work. Inspired by Singer's Galois theory of difference equations we will work out several alternative characterizations of $R\Pi\Sigma^*$-extensions: adjoining naively sums and products leads to an $R\Pi\Sigma^*$-extension iff the obtained difference ring is simple iff the ring can be embedded into the ring of sequences iff the ring can be given by the interlacing of $\Pi\Sigma^*$-extensions. From the viewpoint of applications this leads to a fully automatic machinery to represent indefinite nested sums and products in such $R\Pi\Sigma^*$-rings. In addition, we work out how the parameterized telescoping paradigm can be used to prove algebraic independence of indefinite nested sums. Furthermore, one obtains an alternative reduction tactic to solve the parameterized telescoping problem in basic $R\Pi\Sigma^*$-extensions exploiting the interlacing property.

研究动机与目标

• 提供基本 RΠΣ∗-扩张的内在、可算法验证的表征，超越其原始定义。
• 将 RΠΣ∗-扩张的结构性质与差分方程的伽罗瓦理论概念统一起来。
• 开发一种构造性、完全自动化的将 RΠΣ∗-扩张嵌入序列环的方法。
• 通过参数化叠缩解的不存在性，实现对不定嵌套求和代数独立性的证明。
• 扩展计算机代数系统（如 Sigma）中符号求和的算法工具箱。

提出的方法

• 通过差环的简洁性表征 RΠΣ∗-扩张：每个 σ-稳定理想均为平凡理想。
• 建立 RΠΣ∗-扩张与 ΠΣ∗-扩张交错结构之间的等价性，实现结构分解。
• 使用 K-嵌入 τ: E → S(K) 将元素表示为序列，嵌入到序列环中。
• 构造一个 Σ∗-扩张 H = E[s₁,…,s_d] 以建模参数化叠缩问题，其中 σ(s_i) = s_i + σ(f_i)。
• 利用序列嵌入与多项式环结构，测试求和序列的代数独立性。
• 通过 o-函数与求值映射迭代扩展嵌入，以保持代数关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个 APS-扩张（代数、乘积、求和扩张）的塔构成基本 RΠΣ∗-扩张？
• RQ2 何时差环 E 是简洁的，即仅包含平凡 σ-稳定理想？
• RQ3 何时可将 RΠΣ∗-扩张嵌入序列环中？这对其表示与化简有何含义？
• RQ4 如何利用参数化叠缩解的不存在性来证明嵌套求和的代数独立性？
• RQ5 ΠΣ∗-扩张的交错结构能否作为标准 RΠΣ∗-扩张构造的结构替代方案？

主要发现

• 基本 RΠΣ∗-扩张等价于简洁差环：任何 σ-稳定理想均为平凡理想。
• RΠΣ∗-扩张同构于 ΠΣ∗-扩张的交错积，提供了结构分解。
• 当且仅当基域 F 允许此类嵌入时，环 E 可嵌入序列环中。
• 序列 ⟨S₁(n)⟩, ..., ⟨S_d(n)⟩ 在 τ(E) 上的代数独立性，等价于参数化叠缩方程 (6.2) 无解。
• 若在 E 中不存在叠缩解，则相应的嵌套求和在常数域 K 上代数独立。
• 该方法完全算法化，已在 Sigma 包中实现，可对嵌套求和表达式生成紧凑且代数独立的表示。