[论文解读] Sumsets of reciprocals in prime fields and multilinear Kloosterman sums

Jean Bourgain, M. Z. Garaev|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用 11

一句话总结

该论文利用多重线性指数和估计，对有限域中模素数 p 的倒数集合的加性能量建立了新的界，从而改进了不完全多重线性 Kloosterman 和的结果。结果表明，当区间 I 满足 |I| < p^{c/k²} 时，k 重和集 k(I⁻¹) 的大小为 |I|^{k+o(1)}，显著优于先前估计，并使得对素数上特征和及一般乘法函数的更强界成为可能。

ABSTRACT

We obtain new results on additive properties of the set $$ I^{-1}= \{x^{-1}: \quad x\in I\} $$ where $I$ is an arbitrary interval in the field of residue classes modulo a large prime $p$. We combine our results with multilinear exponential sum estimates and obtain new results on incomplete multilinear Kloosterman sums.

研究动机与目标

• 建立 F_p 中涉及倒数的加法同余方程解数的改进上界。
• 分析 F_p 中区间 I 的集合 I⁻¹ = {x⁻¹ : x ∈ I} 的加性结构。
• 将这些界应用于推导不完全多重线性 Kloosterman 和的新估计。
• 利用新的和集界改进现有关于素数和乘法函数的特征和估计。

提出的方法

• 使用文献 [6] 中的多重线性指数和估计来控制倒数和同余方程的解数。
• 应用 Weil 的特征和在区间上的有界性来控制不完全和。
• 采用 dyadic 分解和光滑化技术处理 dyadic 范围上的和。
• 使用 Vaughan 恒等式和部分求和，将整数上的和与素数上的和关联起来。
• 通过推论 5 导出双线性和的界，该推论将区间大小与指数和的衰减联系起来。
• 在 |I| < p^{c/k²} 的条件下，建立 k 重和集 k(I⁻¹) 的最优界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 |I| 相对于 p 较小时，方程 x₁⁻¹ + ... + xₖ⁻¹ ≡ xₖ₊₁⁻¹ + ... + x₂ₖ⁻¹ mod p 在 xᵢ ∈ I 时的最大解数是多少？
• RQ2 对于 F_p 中的区间 I，k 重和集 k(I⁻¹) 的大小如何随 |I| 变化？
• RQ3 能否从倒数集合的加性能量估计中导出不完全多重线性 Kloosterman 和的改进界？
• RQ4 当 |I| < p^{3/46} 时，和集 I⁻¹ + I⁻¹ + I⁻¹ 的大小的最佳可能指数是多少？
• RQ5 该方法在多大程度上可推广至 x⁻ʳ（r > 1）或素数上的和？

主要发现

• 对于任意固定的 k 和满足 |I| < p^{c/k²}（其中 c = 1/4）的情况，同余方程 x₁⁻¹ + ... + xₖ⁻¹ ≡ xₖ₊₁⁻¹ + ... + x₂ₖ⁻¹ mod p 的解数被限制为 |I|^{k+o(1)}。
• 这表明在相同条件下，k 重和集 k(I⁻¹) 满足 |k(I⁻¹)| > |I|^{k+o(1)}。
• 当 |I| < p^{1/18} 时，同余方程 x₁⁻¹ + x₂⁻¹ + x₃⁻¹ ≡ x₄⁻¹ + x₅⁻¹ + x₆⁻¹ mod p 的解数被限制为 |I|^{3+o(1)}，因此 |I⁻¹ + I⁻¹ + I⁻¹| > |I|^{3+o(1)}。
• 当 |I| < p^{3/46} 时，同余方程 x⁻¹ + y⁻¹ + z⁻¹ ≡ λ mod p 的解数被限制为 |I|^{2/3+o(1)}（其中 λ ∉ I⁻¹ ∪ {0}），这意味着 |I⁻¹ + I⁻¹ + I⁻¹| > |I|^{7/3+o(1)}。
• 不完全多重线性 Kloosterman 和的界导致如下估计：当 p > N^{1/2+ε} 时，有 max_{(a,p)=1} |∑_{x<N, x prime} e_p(ax⁻ʳ)| < N^{1−δ}，其中 δ > 0。
• 利用 Vaughan 恒等式和推论 5，和 ∑_{n≤p} Λ(n)e_p(an⁻ʳ) 被限制为 p^{23/24+o(1)}，优于 Weil 界 p^{15/16+o(1)}。