[论文解读] Supercongruences and Complex Multiplication

Jonas Kibelbek, Линг Лонг+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文在模 $p^2$ 下建立了截断超几何级数 $_3F_2\left(\begin{smallmatrix}1/2,1/2,1/2\\1,1\end{smallmatrix};\lambda\right)_{(p-1)/2}$ 的超同余式，将其与具有复乘法（CM）的K3曲面及椭圆曲线的算术联系起来。当 $\lambda=1$ 时，本文证实了Rodriguez-Villegas的猜想；当 $\lambda=64$ 时，证实了Sun的猜想，表明当 $E_\lambda$ 具有CM时，该同余式与权为3的尖点形式的 $p$-次傅里叶系数一致。

ABSTRACT

We study congruences involving truncated hypergeometric series of the form_rF_{r-1}(1/2,...,1/2;1,...,1;λ)_{(mp^s-1)/2} = \sum_{k=0}^{(mp^s-1)/2} ((1/2)_k/k!)^r λ^k where p is a prime and m, s, r are positive integers. These truncated hypergeometric series are related to the arithmetic of a family of algebraic varieties and exhibit Atkin and Swinnerton-Dyer type congruences. In particular, when r=3, they are related to K3 surfaces. For special values of λ, with s=1 and r=3, our congruences are stronger than what can be predicted by the theory of formal groups because of the presence of elliptic curves with complex multiplications. They generalize a conjecture made by Rodriguez-Villegas for the λ=1 case and confirm some other supercongruence conjectures at special values of λ.

研究动机与目标

• 研究截断超几何级数与代数簇相关的更深层次同余式——超同余式，超越标准形式群理论的预测。
• 理解复乘法（CM）在增强同余式方面的作用，超越形式群理论的预测。
• 证实并推广Rodriguez-Villegas与Sun针对特定 $\lambda$ 值的超同余式猜想。
• 通过CM椭圆曲线建立K3曲面算术与超几何周期 $p$-进性质之间的联系。

提出的方法

• 分析模 $p^s$ 与 $p^2$ 的截断超几何级数 $F_3(\lambda)_{(mp^s-1)/2} = \sum_{k=0}^{(mp^s-1)/2} \left( \frac{(1/2)_k}{k!} \right)^3 \lambda^k$。
• 应用Dwork的 $p$-进理论与 $p$-进伽马函数，推导涉及调和和 $H_k$ 与 $p$-进展开的同余式。
• 利用 $E_\lambda$ 的Frobenius多项式的单位根 $\alpha_{p,\lambda}$ 表达模 $p^2$ 的超同余式。
• 采用伸缩和技巧与模 $p^2$ 的二项式系数恒等式，包括Wolstenholme同余式 $H_{p-1} \equiv 0 \pmod{p}$。
• 将问题约化为分析形如 $\sum_{i=0}^{(p-1)/2} \binom{2i}{i}^3 (\lambda/64)^i$ 的系数及其 $p$-进性质。
• 通过关于 $T_{k,n} = a_{k+pn} - a_k a_n$ 的关键引理，建立定理2与推论3之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $E_\lambda$ 具有复乘法时，能否证明截断超几何级数 $F_3(\lambda)_{(p-1)/2}$ 模 $p^2$ 的超同余式？
• RQ2 复乘法如何增强同余式，使其超越形式群理论的预测？
• RQ3 当 $\lambda \neq 1$ 时，$E_\lambda$ 的 $p$-进单位根 $\alpha_{p,\lambda}$ 是否控制超同余式的结构？
• RQ4 Rodriguez-Villegas对 $\lambda=1$ 的猜想与Sun对 $\lambda=64$ 的猜想是否在模 $p^2$ 下成立？
• RQ5 在CM条件下，能否证明 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \binom{2k}{k}^3 (\lambda/64)^k$ 模 $p$ 为零？

主要发现

• 本文证明：当 $\lambda \neq 1$ 且 $E_\lambda$ 具有复乘法时，截断超几何和满足 $F_3(\lambda)_{(p-1)/2} \equiv \left(\frac{\lambda-1}{p}\right) \alpha_{p,\lambda}^2 \pmod{p^2}$，其中 $\alpha_{p,\lambda}$ 为Frobenius多项式的单位根。
• 该结果在模 $p^2$ 下证实了Rodriguez-Villegas对 $\lambda=1$ 的猜想，表明 $F_3(1)_{(p-1)/2} \equiv b_p \pmod{p^2}$，其中 $b_p$ 为尖点形式 $\eta(4z)^6$ 的 $p$-次系数。
• 本文证实了Sun对 $\lambda=64$ 的猜想，表明 $F_3(64)_{(p-1)/2} \equiv a_p \pmod{p^2}$，其中若 $p = x^2 + 7y^2$，则 $a_p = 4x^2 - 2p$，否则 $a_p = 0$。
• 对于CM椭圆曲线，同余式 $T_{(p-1)/2,1} \equiv 0 \pmod{p^2}$ 成立，意味着在CM条件下，和式 $\sum_{i=0}^{(p-1)/2} \binom{2i}{i}^3 (\lambda/64)^i \equiv 0 \pmod{p}$。
• 作者猜想：当 $E_\lambda$ 具有CM时，定理1在模 $p^{2s}$ 下仍成立，将 $p^s$ 同余式推广至更高幂次。
• 关键引理表明 $T_{k,n} \equiv pn \binom{2n}{n}^3 (\lambda/64)^n b_k \pmod{p^2}$，该式将伸缩和与调和和及 $p$-进对数项联系起来。