[论文解读] Supercongruences involving dual sequences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 34被引用 15

一句话总结

本文建立了涉及二项式系数的对偶序列平方和的新 p 进超同余式，具体针对 $ d_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{x}{k}2^k $ 和 $ s_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{x}{k}\binom{x+k}{k} $。证明了 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k d_k(x)^2 \equiv (-1)^{\langle x\rangle_p} \pmod{p^2} $ 与 $ \sum_{k=0}^{p-1} (2k+1)s_k(x)^2 \equiv 0 \pmod{p^2} $，并扩展了关于中心三项式数与 Delannoy 数的已知结果，揭示了深刻的 p 进结构。

ABSTRACT

In this paper we study some sophisticated supercongruences involving dual sequences. For $n=0,1,2,\ldots$ define $$d_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom xk2^k$$ and $$s_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom xk\binom{x+k}k=\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^k\binom xk\binom{-1-x}k.$$ For any odd prime $p$ and $p$-adic integer $x$, we determine $\sum_{k=0}^{p-1}(\pm1)^kd_k(x)^2$ and $\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)d_k(x)^2$ modulo $p^2$; for example, we establish the new $p$-adic congruence $$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kd_k(x)^2\equiv(-1)^{\langle x angle_p}\pmod{p^2},$$ where $\langle x angle_p$ denotes the least nonnegative integer $r$ with $x\equiv r\pmod p$. For any prime $p>3$ and $p$-adic integer $x$, we determine $\sum_{k=0}^{p-1}s_k(x)^2$ modulo $p^2$ (or $p^3$ if $x\in\{0,\ldots,p-1\}$), and show that $$\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)s_k(x)^2\equiv0\pmod{p^2}.$$ We also pose several related conjectures.

研究动机与目标

• 研究通过二项式系数与组合多项式定义的对偶序列的超同余式。
• 将已知的中心三项式数与 Delannoy 数的 p 进同余式推广至更高模数。
• 为 $ d_n(x) $ 与 $ s_n(x) $ 的平方和建立模 $ p^2 $（特殊情况下为 $ p^3 $）的精确同余式。
• 推广 Rodriguez-Villegas 型猜想，并利用 p 进分析与组合恒等式加以证明。
• 提出并支持关于 Catalan 数与广义二项式系数的高阶超同余式的新型猜想。

提出的方法

• 通过变换 $ a_n^* = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k a_k $ 定义对偶序列，并研究其生成函数与对称性质。
• 引入多项式 $ D_n(x,y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{x}{k}y^k $ 与 $ S_n(x,y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{x}{k}\binom{-1-x}{k}y^k $，其中 $ d_n(x) = D_n(x,2) $，$ s_n(x) = S_n(x,-1) $。
• 利用 Chu-Vandermonde 恒等式与 p 进整数的性质分析模 $ p^2 $ 与 $ p^3 $ 的和。
• 应用关于勒让德符号、欧拉数与超几何恒等式的已知结果，推导 $ \sum_{k=0}^{p-1} d_k(x)^2 $ 与 $ \sum_{k=0}^{p-1} s_k(x)^2 $ 的同余式。
• 利用对偶性与对称性：$ d_n(x) = (-1)^n d_n(-1-x) $，$ s_n(x) = s_n(-1-x) $，以减少情形并统一同余式。
• 通过符号计算与已知超同余式（包括涉及 Catalan 数与广义中心二项式系数的）制定并检验猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于模 $ p^2 $，$ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k d_k(x)^2 $ 的精确 p 进超同余式是什么？
• RQ2 当 $ p > 3 $ 时，$ \sum_{k=0}^{p-1} (2k+1)s_k(x)^2 $ 模 $ p^2 $ 的行为如何？
• RQ3 能否将 $ \sum_{k=0}^{p-1} \tilde{J}_2(k)^2 \mod p^3 $ 的 Rodriguez-Villegas 型猜想推广至其他序列？
• RQ4 序列 $ t_k(x) = S_k(x,-2) $ 的和 $ \sum_{k=0}^{p-1} t_k(x)^2 \mod p^2 $ 的结构是什么？
• RQ5 加权和 $ \sum_{k=0}^{p-1} (8k+5)t_k(-1/2)^2 $ 及类似表达式是否模 $ p^2 $ 同余于 $ p $ 的有理函数？

主要发现

• 对于任意奇素数 $ p $ 与 $ p $-进整数 $ x $，有 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k d_k(x)^2 \equiv (-1)^{\langle x\rangle_p} \pmod{p^2} $，其中 $ \langle x\rangle_p $ 表示 $ x \mod p $ 的最小非负剩余。
• 当 $ p > 3 $ 时，有 $ \sum_{k=0}^{p-1} s_k(x)^2 \equiv 0 \pmod{p^2} $，且若 $ x \in \{0, \dots, p-1\} $，则该和模 $ p^3 $ 同余于 0。
• 对于所有 $ p > 3 $ 与 $ p $-进整数 $ x $，有 $ \sum_{k=0}^{p-1} (2k+1)s_k(x)^2 \equiv 0 \pmod{p^2} $。
• 本文证明了 $ \sum_{k=0}^{p-1} \tilde{J}_2(k)^2 \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) \pmod{p^3} $，证实了 Kimoto 与 Wakayama 的一个猜想。
• 猜想 6.13 为涉及 Catalan 数与广义二项式系数的序列平方和提供了模 $ p^3 $ 与 $ p^4 $ 的精确 p 进同余式。
• 猜想 6.14 提出 $ \sum_{k=0}^{p-1} t_k(x)^2 \mod p^2 $ 的双情形同余式，取决于 $ 2x \equiv -1 \pmod{p} $ 是否成立，并包含整值性与加权和的同余结果。