[论文解读] Superconvergence Points of Spectral Interpolation

Zhimin Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文通过使用切比雪夫多项式和勒让德多项式，识别出谱插值中的超收敛点，表明在特定节点处导数近似值的收敛速度超过全局收敛率——例如，一阶导数在切比雪夫-U多项式的零点处超收敛，而当插值导数时，函数值在$T_{N-1}$的根处超收敛。主要贡献在于为高阶多项式插值中的超收敛建立了分析条件，使在选定点处的精度超越全局收敛率。

ABSTRACT

In this work, we study superconvergence properties for some high-order orthogonal polynomial interpolations.The results are two-folds: When interpolating function values, we identify those points where the first and second derivatives of the interpolant converge faster;When interpolating the first derivative,we locate those points where the function value of the interpolant superconverges. For the earlier case, we use various Chebyshev polynomials; and for the later case,we also include the counterpart Legendre polynomials.

研究动机与目标

• 在$[-1,1]$中确定谱插值中导数近似值收敛速度超过全局速率的点。
• 将超收敛分析从$h$-版本有限元方法扩展到$p$-版本谱方法和谱 collocation 方法。
• 确定当插值导数时，函数值近似值超收敛的点。
• 利用正交多项式（特别是切比雪夫和勒让德类型）提供超收敛的分析条件。
• 为谱方法和$p$-版本方法中的自适应方法与后验误差估计奠定基础。

提出的方法

• 分析使用第一类切比雪夫多项式($T_N$)、第二类切比雪夫多项式($U_N$)及其相关节点集（勒让德-洛巴托和勒让德-拉多伊）对解析函数的插值。
• 通过求解涉及$N$和$\theta_k$的三角方程，推导一阶和二阶导数超收敛的条件。
• 利用正交多项式恒等式和积分表示，将误差表达为$T_N$、$U_N$及其组合的形式。
• 应用渐近分析表明，误差大小由主导项决定，而该主导项在超收敛点处消失。
• 通过在具有已知奇点的解析函数（包括龙格函数和$(2-x)^{-1}$）上的数值实验验证理论结果。
• 比较不同节点分布下的收敛行为：切比雪夫根、切比雪夫-洛巴托点和切比雪夫-拉多伊点。

实验结果

研究问题

• RQ1 切比雪夫插值的导数在哪些点处发生超收敛？
• RQ2 当插值导数时，插值函数值在何处发生超收敛？
• RQ3 切比雪夫多项式的超收敛点与勒让德多项式的超收敛点相比如何？
• RQ4 能否推导出分析误差表达式，通过主导项相消来识别超收敛？
• RQ5 超收敛点的位置与相关正交多项式根之间存在何种关系？

主要发现

• 对于在$T_{N+1}$零点处的切比雪夫插值，一阶导数在$U_N$的零点处超收敛，位置为$\cos(k\pi/(N+1))$，其中$k=1,\dots,N$。
• 二阶导数的超收敛发生在满足$(N+1)\cos(N+1)\theta\sin\theta = \sin(N+1)\theta\cos\theta$的点，对大$N$而言，该点接近$T_{N+1}$的内部根。
• 对于切比雪夫-洛巴托插值，一阶导数在满足$N\cos N\theta\sin\theta + \sin N\theta\cos\theta = 0$的点处超收敛，近似为$\theta_k \approx (2k-1)\pi/(2N)$。
• 二阶导数的超收敛发生在满足$(N^2-1)\sin N\theta\sin\theta = 2N\cos N\theta\cos\theta$的点，接近$\sin N\theta$的内部零点。
• 当在切比雪夫-洛巴托点处插值一阶导数时，函数值在内部第二类切比雪夫点处超收敛，与理论误差界一致。
• 数值测试表明，超收敛点处的误差比最大误差小一个数量级，验证了对龙格函数和$(2-x)^{-1}$的理论预测。