[论文解读] Superset Technique for Approximate Recovery in One-Bit Compressed Sensing

Larkin Flodin, Venkata Gandikota+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2019

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的超集技术，用于一比特压缩感知（1bCS）中的近似恢复，其中通过子集测量识别出信号支持的超集，随后利用高斯测量在该超集中重建信号。该方法实现了近似恢复的最优样本复杂度 $ olcal{O}(k\log\frac{n}{k} + \frac{k}{\epsilon}\log\frac{k}{\epsilon})$，与目前已知的最佳界一致，同时支持通用的、非自适应的矩阵设计。

ABSTRACT

One-bit compressed sensing (1bCS) is a method of signal acquisition under extreme measurement quantization that gives important insights on the limits of signal compression and analog-to-digital conversion. The setting is also equivalent to the problem of learning a sparse hyperplane-classifier. In this paper, we propose a novel approach for signal recovery in nonadaptive 1bCS that matches the sample complexity of the current best methods. We construct 1bCS matrices that are universal - i.e. work for all signals under a model - and at the same time recover very general random sparse signals with high probability. In our approach, we divide the set of samples (measurements) into two parts, and use the first part to recover the superset of the support of a sparse vector. The second set of measurements is then used to approximate the signal within the superset. While support recovery in 1bCS is well-studied, recovery of superset of the support requires fewer samples, and to our knowledge has not been previously considered for the purpose of approximate recovery of signals.

研究动机与目标

• 解决一比特压缩感知中通用近似恢复的样本复杂度差距问题。
• 设计一种适用于所有 $k$-稀疏信号的非自适应测量方案，且具有高概率。
• 通过首先恢复支持的超集，减少近似信号恢复所需的测量数量。
• 利用超集恢复作为关键步骤，为通用测量矩阵提供理论保证。
• 通过实证验证，证明超集技术可作为现有1bCS算法的灵活、低开销增强模块。

提出的方法

• 将测量矩阵划分为两部分：$M^{(1)}$ 用于超集恢复，$M^{(2)}$ 用于信号重建。
• 使用 $M^{(1)}$ 并采用伯努利分布（概率 $1/(k+1)$）的条目，通过群体测试解码方法恢复一个 $\mathcal{O}(k)$ 大小的真支持的超集。
• 在 $M^{(2)}$ 上应用标准的1bCS恢复算法（例如，BIHT），在恢复的超集内重建信号。
• 利用存在 $\mathcal{O}(k\log\frac{n}{k})$ 行的 $\mathcal{O}(k)$-列表析取矩阵的事实，确保高概率的超集恢复。
• 在 $M^{(2)}$ 中使用 $\mathcal{O}(\frac{k}{\epsilon}\log\frac{k}{\epsilon})$ 个高斯测量，实现在超集内的 $\epsilon$-精度重建。
• 通过将组合设计用于超集恢复与高斯测量用于重建相结合，构建强显式矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 与精确支持恢复相比，超集恢复是否能减少近似1bCS恢复所需的测量数量？
• RQ2 在非自适应1bCS中，超集大小与测量成本之间的最优权衡是什么？
• RQ3 能否设计一种通用测量矩阵，利用超集技术实现对所有 $k$-稀疏信号的近似恢复？
• RQ4 在重建误差方面，超集方法与标准全高斯1bCS相比表现如何？
• RQ5 超集技术能否作为即插即用的增强模块，应用于现有1bCS算法而无需修改其核心结构？

主要发现

• 所提方法在近似1bCS恢复中实现了 $\mathcal{O}(k\log\frac{n}{k} + \frac{k}{\epsilon}\log\frac{k}{\epsilon})$ 的样本复杂度，与目前已知的最佳上界一致。
• 使用 $4k\log n$ 个测量进行超集恢复（通过伯努利矩阵）可确保以高概率恢复出一个 $\mathcal{O}(k)$ 大小的超集。
• 实证结果表明，与全高斯矩阵相比，使用超集技术在 $\ell_2$ 重建误差上表现出适度但一致的改进，尤其在中等至高测量规模下更为明显。
• 超集方法具有高度通用性，可与现有1bCS算法（如BIHT或QCoSaMP）结合，仅需极少修改。
• 该方法实现了强显式构造，仅在最优 $\mathcal{O}(k\log\frac{n}{k})$ 超集恢复成本基础上增加 $k^{o(1)}$ 的开销。
• 该方法为适用于所有实值 $k$-稀疏信号的通用1bCS矩阵提供了理论基础，且具有高概率有效性。