[论文解读] Support Recovery in Universal One-bit Compressed Sensing

Arya Mazumdar, Soumyabrata Pal|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 22被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种通用的一比特压缩感知框架，通过允许少量误报，显著降低了测量复杂度。该方法实现了 $\tilde{O}(k^{3/2})$ 次测量，用于通用 $\frac{1}{2}$-近似支持恢复，当信号的动态范围已知时，测量复杂度可进一步降低至 $\tilde{O}(k)$，几乎消除了通用性的代价。

ABSTRACT

One-bit compressed sensing (1bCS) is an extreme-quantized signal acquisition method that has been intermittently studied in the past decade. In 1bCS, linear samples of a high dimensional signal are quantized to only one bit per sample (sign of the measurement). The extreme quantization makes it an interesting case study of the more general single-index or generalized linear models. At the same time it can also be thought of as a `design' version of learning a binary linear classifier or halfspace-learning. Assuming the original signal vector to be sparse, existing results in 1bCS either aim to find the support of the vector, or approximate the signal within an $ε$-ball. The focus of this paper is support recovery, which often also computationally facilitate approximate signal recovery. A \emph{universal} measurement matrix for 1bCS refers to one set of measurements that work \emph{for all} sparse signals. With universality, it is known that $ ildeΘ(k^2)$ 1bCS measurements are necessary and sufficient for support recovery (where $k$ denotes the sparsity). In this work, we show that it is possible to universally recover the support with a small number of false positives with $ ilde{O}(k^{3/2})$ measurements. If the dynamic range of the signal vector is known, then with a different technique, this result can be improved to only $ ilde{O}(k)$ measurements. Other results on universal but approximate support recovery are also provided in this paper. All of our main recovery algorithms are simple and polynomial-time.

研究动机与目标

• 降低通用一比特压缩感知在支持恢复中的测量复杂度。
• 分析在通用支持恢复中测量次数与误报数量之间的权衡。
• 通过允许少量误报或漏报，实现接近最优的测量复杂度。
• 为通用近似支持恢复和超集恢复建立紧致的测量需求下界。
• 探讨信号动态范围知识在降低测量复杂度中的作用。

提出的方法

• 利用一比特压缩感知与列表消去矩阵之间的新联系，推导出恢复保证。
• 构建一种测量矩阵，确保在支持互不相交（大小分别为 $k(1-2\theta)$ 和 $2\theta k$）的信号之间保持符号一致性。
• 基于组合设计的随机构造方法，实现 $\tilde{O}(k^{3/2})$ 的测量复杂度。
• 提出一种基于 $(k(1-2\theta), 2\theta k)$-列表消去矩阵结构的多项式时间支持恢复算法。
• 通过基于符号等价的 $k$-稀疏信号（汉明距离为 $2\theta k$）的反证法推导下界，证明 $m = \Omega(k / \epsilon \cdot \log(n/k))$ 次测量是必要的。
• 利用动态范围假设优化测量设计，实现 $\tilde{O}(k)$ 的复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过允许少量误报，能否将通用一比特压缩感知在支持恢复中的测量复杂度降低至 $O(k^2)$ 以下？
• RQ2 对于 $\epsilon < 1/3$ 的通用 $\epsilon$-近似支持恢复，所需的最少测量次数是多少？
• RQ3 信号动态范围知识如何影响通用一比特压缩感知中的测量复杂度？
• RQ4 通用超集恢复的下界能否通过上界构造实现匹配？
• RQ5 二值测量矩阵在通用一比特压缩感知支持恢复中能在多大程度上被有效使用？

主要发现

• 该论文在允许最多 $\epsilon k$ 个误报（$\epsilon < 1/3$）的前提下，实现了 $\tilde{O}(k^{3/2})$ 次测量的通用支持恢复，显著降低了 $O(k^2)$ 的界限。
• 当信号的动态范围已知时，测量复杂度降低至 $\tilde{O}(k)$，几乎完全消除了通用性带来的代价。
• 为通用 $\epsilon$-近似支持恢复建立了下界 $\Omega\left(\frac{k}{\epsilon} \left(\log \frac{k}{\epsilon}\right)^{-1} \log \frac{n-k}{\epsilon k}\right)$，表明所提方法近乎最优。
• 该结果可推广至通用 $\epsilon$-超集恢复，具有相同的下界，表明超集恢复至少与近似恢复一样困难。
• 论文证明，任何用于通用 $\epsilon$-近似支持恢复的测量矩阵都必须满足 $m = \Omega\left(\frac{k}{\epsilon} \log \frac{n-k}{\epsilon k}\right)$，与上界仅相差对数因子。
• 作者推测，通过高级多项式构造，$\tilde{O}(k^{3/2})$ 的上界可进一步改进为 $\tilde{O}(k)$，从而与下界完全吻合。