[论文解读] Supersymmetric Wilson Loops, Instantons, and Deformed W-algebras

Nathan Haouzi|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 50被引用 8

一句话总结

该论文通过超对称威尔逊算符和瞬子微分几何，建立了5d $χ$-型奎佛规范理论与形变$frak{g}$-型Toda理论之间的对偶性。利用规范/任何子对偶性与在解析的$ADE$奇点上的IIb型紧化，证明了5d划分函数等于带有应力张量和高自旋算符插入的$q$-形变Toda理论中的左手相关函数，而1d ADHM量子力学的威滕指数则实现了$U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$的$qq$-特征标。

ABSTRACT

Let $\mathfrak{g}$ be a simple Lie algebra. We study half-BPS Wilson loops of supersymmetric 5d $\mathfrak{g}$-type quiver gauge theories on a circle, in a non-trivial instanton background. The Wilson loops are codimension 4 defects of the gauge theory, and their interaction with self-dual instantons is captured by a 1d ADHM quantum mechanics. We compute the partition function as its Witten index. This index is a $qq$-character of a finite-dimensional irreducible representation of the quantum affine algebra $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$. Using gauge/vortex duality, we can understand the 5d physics in 3d gauge theory terms. Namely, we study the vortices on the Higgs branch of the 5d theory, and reinterpret its partition function from the point of view of the vortices. This vortex perspective has an advantage: it has yet another dual description in terms of $q$-deformed $\mathfrak{g}$-type Toda Theory on a cylinder, in free field formalism. We show that the gauge theory partition function is equal to a (chiral) correlator of the deformed Toda Theory, with stress tensor and higher spin operator insertions. We derive all the above results from type IIB string theory, compactified on a resolved $ADE$ singularity $X$ times a cylinder with punctures, with various branes wrapping the blown-up 2-cycles.

研究动机与目标

• 理解在带有瞬子背景的圆上，5d $χ$-型奎佛规范理论中半BPS威尔逊算符的作用。
• 通过描述瞬子-任何子相互作用的1d ADHM量子力学的威滕指数，计算这些理论的划分函数。
• 利用规范/任何子对偶性，在圆柱面上建立5d规范理论与$q$-形变$χ$-型Toda理论之间的对偶性。
• 将所得的划分函数解释为在形变Toda理论的自由场形式中，带有算符插入的左手相关函数。
• 从在解析的$ADE$奇点与穿孔圆柱面的乘积上的IIb型紧化中推导出完整的对应关系。

提出的方法

• 在解析的$ADE$奇点$X$与带穿孔的圆柱面的乘积上紧化IIb型弦理论，其中D5-膜包裹解析中的2-循环。
• 将5d $χ$-型奎佛规范理论实现为一个背景，其中半BPS威尔逊算符作为codimension 4缺陷。
• 通过1d ADHM量子力学建模威尔逊算符与自对偶瞬子之间的相互作用，将其威滕指数计算为划分函数。
• 将威滕指数识别为量子仿射代数$U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$的有限维不可约表示的$qq$-特征标。
• 应用规范/任何子对偶性，将5d划分函数重新解释为理论在希格斯分支上任何子的划分函数。
• 将任何子划分函数映射为在圆柱面上的$q$-形变$χ$-型Toda理论中的左手相关函数，插入算符为应力张量和高自旋算符。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非平凡背景中，5d $χ$-型奎佛规范理论中的半BPS威尔逊算符如何与自对偶瞬子耦合？
• RQ2 通过1d ADHM量子力学的威滕指数计算出的划分函数的精确数学结构是什么？
• RQ3 5d规范/任何子对偶性如何与任何子描述中$q$-形变Toda理论的出现相关联？
• RQ4 $qq$-特征标在将规范理论划分函数与$U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$表示联系起来的过程中起什么作用？
• RQ5 在带穿孔的解析$ADE$奇点上的IIb型紧化，如何编码5d规范理论与形变Toda理论之间的完整对偶性？

主要发现

• 在带有瞬子的圆上，5d $χ$-型奎佛规范理论的划分函数被计算为1d ADHM量子力学的威滕指数。
• 该威滕指数被识别为量子仿射代数$U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$的有限维不可约表示的$qq$-特征标。
• 通过规范/任何子对偶性，5d划分函数被重新解释为理论在希格斯分支上任何子的划分函数。
• 任何子划分函数被证明等于在圆柱面上带有应力张量和高自旋算符插入的$q$-形变$χ$-型Toda理论中的左手相关函数。
• 完整的对偶性从在解析的$ADE$奇点与穿孔圆柱面的乘积上的IIb型弦理论紧化中推导而出，其中D5-膜包裹例外2-循环。
• 该对应关系通过弦理论中的几何工程，为5d/2d/1d/0d对偶链提供了具体的实现。