[论文解读] Support-based lower bounds for the positive semidefinite rank of a nonnegative matrix

Troy Lee, Dirk Oliver Theis|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 13被引用 14

一句话总结

该论文表明，基于支撑的非负矩阵的半正定秩下界在本质上是有限制的：此类最优下界恰好等于具有相同零/非零模式的所有矩阵中的最小可能秩。作者证明，任何基于支撑的方法都无法得到超过矩阵秩的下界，这与非负秩情形形成鲜明对比——在非负秩中，此类下界可能弱得多，甚至呈指数级削弱。

ABSTRACT

The positive semidefinite rank of a nonnegative $(m imes n)$-matrix~$S$ is the minimum number~$q$ such that there exist positive semidefinite $(q imes q)$-matrices $A_1,\dots,A_m$, $B_1,\dots,B_n$ such that $S(k,\ell) = \mbox{tr}(A_k^* B_\ell)$. The most important, lower bound technique for nonnegative rank is solely based on the support of the matrix S, i.e., its zero/non-zero pattern. In this paper, we characterize the power of lower bounds on positive semidefinite rank based on solely on the support.

研究动机与目标

• 确定基于支撑的半正定秩下界之理论极限。
• 探究非负矩阵的零/非零模式是否能为其半正定秩提供非平凡的下界。
• 阐明半正定秩与具有相同支撑的矩阵中最小可能秩之间的关系。
• 对比半正定秩中基于支撑的下界与非负秩中其著名强大性能之间的差异。

提出的方法

• 作者将半正定秩定义为最小维度 q，使得存在正半定矩阵 A_k 和 B_ℓ，满足 S(k,ℓ) = tr(A_k^* B_ℓ)。
• 他们分析了所有与给定矩阵 S 具有相同支撑 M 的非负矩阵 T 的集合，并考虑此类 T 上 rk_⊕(T) 的下确界。
• 关键的技术工具是通过子空间格和相关子空间上的秩条件来表征半正定分解。
• 他们基于分解中的秩约束使用反证法，排除低维表示的可能性，特别是当某些元素为零或非零时。
• 该证明利用了若一个矩阵具有秩-1分解，则其元素必须是同一秩矩阵对应元素的平方这一事实。
• 他们将此方法应用于一类特定的矩阵 S_n，其秩恒为 3 但半正定秩随 n 无界增长，通过枚举底层矩阵 Y 中的符号模式来实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于支撑的半正定秩下界能否超过具有相同支撑的矩阵中的最小可能秩？
• RQ2 基于支撑的下界在半正定秩中的有效性与在非负秩设定中的表现相比如何？
• RQ3 是否存在结构性原因导致基于支撑的下界在半正定情形下本质上受限？
• RQ4 在分解中引入额外结构约束（例如秩-1分量）是否能产生强于仅依赖支撑的下界？
• RQ5 半正定秩与非确定性秩（即具有相同支撑的矩阵中的最小秩）之间有何关系？

主要发现

• 任何非负矩阵 S 的基于支撑的半正定秩最优下界，恰好等于所有与 S 具有相同支撑的非负矩阵中的最小秩。
• 该结果意味着基于支撑的方法无法得到超过矩阵秩的半正定秩下界。
• 对于任意 0/1 矩阵 M，所有具有支撑 M 的非负矩阵中，最小半正定秩等于该集合中最小秩。
• 矩阵 S 的三角秩是其半正定秩的下界，如推论 4.8 所示。
• 本文构造了一类矩阵 S_n，其秩恒为 3 但半正定秩随 n 无界增长，证明了半正定秩可超过矩阵秩。
• 当 n ≥ 6 时，S_6 的半正定秩至少为 4，该结论通过反证法证明：即不存在一个秩为 3 的矩阵 Y，使其逐元素平方等于 S_6。