[论文解读] Combinatorial Bounds on Nonnegative Rank and Extended Formulations

Samuel Fiorini, Volker Kaibel+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用 12

一句话总结

本论文通过分析覆盖其松弛矩阵非零模式所需的最小矩形数，建立了多面体扩展复杂度的组合下界。结果表明，立方体、Birkhoff多面体以及具有 Ω(d²) 个顶点的邻近 d-多面体的扩展形式大小至少为 Ω(d²)，证明了矩形覆盖在对称且高维多面体中虽具强大但有限的认证大扩展复杂度的能力。

ABSTRACT

An extended formulation of a polytope P is a polytope Q which can be projected onto P. Extended formulations of small size (i.e., number of facets) are of interest, as they allow to model corresponding optimization problems as linear programs of small sizes. The main known lower bounds on the minimum sizes of extended formulations for fixed polytope P (Yannakakis 1991) are closely related to the concept of nondeterministic communication complexity. We study the relative power and limitations of the bounds on several examples.

研究动机与目标

• 澄清矩形覆盖界与其他已知扩展复杂度下界之间的关系。
• 研究矩形覆盖方法作为证明扩展复杂度下界工具的优缺点。
• 确定对于某些多面体，矩形覆盖数是否可能关于维度 d 和 log n 超多项式增长。
• 检验特定多面体族（包括完美匹配多面体）的矩形覆盖界是否紧致。
• 探索基于面格嵌入的替代界是否可能优于矩形覆盖方法。

提出的方法

• 将松弛矩阵的非负秩作为扩展复杂度的代理，利用 Yannakakis 的刻画：对于多面体 P 的松弛矩阵 S，有 xc(P) = rank₊(S)。
• 将矩形覆盖数用作非负秩的下界，其中矩形是松弛矩阵支持中的组合矩形。
• 借助几何与图论解释，例如将反证集界与某类图的团数相关联。
• 通过极值组合学证明矩形覆盖的下界，包括基于顶点集及其覆盖的计数论证。
• 建立对于具有 Ω(d²) 个顶点的邻近 d-多面体，矩形覆盖数为 Ω(d²)，从而推导出扩展复杂度为 Ω(d²)。
• 通过组合覆盖论证，证明立方体和 Birkhoff 多面体在任何扩展形式中所需的不等式数量至少等于其面数。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管所有已知例子中矩形覆盖数在 d 和 log n 上均为多项式，但某些多面体的矩形覆盖数是否可能关于 d 和 log n 超多项式增长？
• RQ2 矩形覆盖界是否总是有界于非负秩的多项式范围内，还是可能显著更大？
• RQ3 对于完美匹配多面体，矩形覆盖数是否保持在 O(n⁴) 范围内，或可低于此平凡上界？
• RQ4 矩形覆盖数是否可用于认证在 d 和 log n 上均为超线性增长的扩展复杂度下界？
• RQ5 是否存在某个多面体，其矩形覆盖数关于 d 和 log n 超多项式增长，从而表明该界与其他复杂度度量之间存在潜在差距？

主要发现

• 立方体和 Birkhoff 多面体所需的扩展形式大小至少等于其面数，意味着不存在更小的扩展形式。
• 对于具有 Ω(d²) 个顶点的 d 维邻近多面体，扩展复杂度为 Ω(d²)，表明此类多面体无法用亚二次大小的扩展形式表示。
• 当 n = Θ(k²) 时，矩形覆盖数为 Θ(n)，表明对于此类多面体，该界在 d 和 log n 上均为超线性，其中 d 为维度，n 为顶点数。
• 非负秩的反证集界等价于从松弛矩阵构造的某类图的团数，提供了新的组合解释。
• 对于 R² 中的不规则 n 边形，矩形覆盖数为 O(log n)，而扩展复杂度为 Ω(√n)，表明在某些情况下矩形覆盖界可能远非紧致。
• 本文未解决矩形覆盖数是否可能关于 d 和 log n 超多项式增长，尽管已知对于任意支持为 M 的矩阵 A，其矩形覆盖数至多为 (rank(A)+1)²。