[论文解读] Support of Borelian Measures in Separable Banach Spaces

E. Ostrovsky|ArXiv.org|Aug 24, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用 9

一句话总结

本文证明了在可分巴拿赫空间（SBS）上，每个博雷尔概率测度的支撑都包含于一个紧嵌入的SBS子空间中。当一个随机变量的范数属于指数型奥尔利奇空间时，本文证明了存在一个紧嵌入子空间，使得该变量的范数属于一个严格更弱的奥尔利奇空间，从而将结果推广至标准Δ₂条件之外的情形。

ABSTRACT

We prove in this article that every Borelian measure, for example, the distribution of a random variable, in separable Banach space has a support which is compact embedded Banach subspace; and prove that if the norm of the random variable belongs to some exponential Orlicz space, then the new subspace can be choose such that the norm of this variable in the new space also belongs to other exponential Orlicz space.

研究动机与目标

• 将可分巴拿赫空间中博雷尔测度的支撑定理推广至奥尔利奇范数不满足Δ₂条件的情形。
• 建立若一个随机变量的范数属于由Φ定义的奥尔利奇空间，则其分布可被支撑于一个紧嵌入子空间，且在该子空间中其范数属于由Ψ定义的更弱奥尔利奇空间。
• 将结果推广至无界σ-有限连续测度，并推广至受控制和弱收敛条件下的一族测度。
• 研究在矩条件成立下，一族测度在更弱奥尔利奇空间中是否具有统一可积性。
• 提出并探讨一个开放猜想：在更弱矩条件下，可分随机场的上确界是否属于更弱的奥尔利奇范数空间Or(Ψ)，其中Ψ << Φ。

提出的方法

• 将一般SBS约化为连续函数空间C[0,1]（赋予一致范数）这一通用空间。
• 利用连续模ω(ξ, δ)刻画随机过程ξ的样本路径正则性。
• 应用奥尔利奇空间中的矩收敛性：若EΦ(|ξ|∞) ≤ 1，则当δ → 0⁺时，EΦ(ω(ξ, δ)) → 0。
• 构造一个新的子空间Z ⊂ C[0,1]，其元素满足supₙ 2ⁿ ω(g, δ(n)) < ∞，并赋予范数|g|∞,ω = |g|∞ + supₙ 2ⁿ ω(g, δ(n))。
• 证明Z是可分巴拿赫空间，并通过Arzelà–Ascoli定理实现其在C[0,1]中的紧嵌入。
• 建立奥尔利奇范数的有限性：|||ξ|∞,ω||Or(Ψ) < ∞，通过|||ξ|∞||Or(Φ)和∑ₙ 2ⁿ ||ω(ξ, δ(n))||Or(Ψ) ≤ 1进行有界控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当奥尔利奇函数Φ不满足Δ₂条件时，可分巴拿赫空间上博雷尔测度的支撑是否仍可包含于一个紧嵌入子空间？
• RQ2 若随机变量的范数|ξ|X属于奥尔利奇空间Or(Φ)，是否存在一个紧嵌入子空间Y，使得|ξ|Y属于一个严格更弱的奥尔利奇空间Or(Ψ)，且满足Ψ << Φ？
• RQ3 该结果是否可推广至无界σ-有限连续测度？在受控族测度下，是否存在一个共同的紧嵌入子空间，使得所有测度均可被支撑于其上？
• RQ4 可分巴拿赫空间上弱收敛测度列是否可被支撑于同一个紧嵌入子空间，且在该子空间中收敛性成立？
• RQ5 对于具有有限奥尔利奇范数Or(Φ)的可分随机场，其上确界是否也属于更弱函数Ψ << Φ所定义的奥尔利奇空间Or(Ψ)？

主要发现

• 每个可分巴拿赫空间上的博雷尔测度，其支撑都包含于一个紧嵌入的可分巴拿赫子空间中。
• 若范数|ξ|X属于奥尔利奇空间Or(Φ)，则存在一个紧嵌入子空间Y，使得|ξ|Y属于任意比Φ更弱的奥尔利奇空间Or(Ψ)。
• 该构造依赖于一个趋于零的序列δ(n) → 0，使得||ω(ξ, δ(n))||Or(Ψ) ≤ 4⁻ⁿ，从而保证奥尔利奇范数中的收敛性。
• 所得子空间Z在范数|g|∞,ω = |g|∞ + supₙ 2ⁿ ω(g, δ(n))下构成可分巴拿赫空间，并通过Arzelà–Ascoli定理实现其在C[0,1]中的紧嵌入。
• 对于无界σ-有限测度，若满足控制条件，结论仍成立，且相同的子空间构造可保证|||ξ|Y||Or(Ψ) < ∞。
• 该结果可推广至受控制或弱收敛条件下的可数测度族，且存在一个共同的紧嵌入支撑子空间。