[论文解读] Supports of irreducible spherical representations of rational Cherednik algebras of finite Coxeter groups

Pavel Etingof|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 9

一句话总结

本论文通过分布理论与Macdonald-Mehta积分，确定了有限Coxeter群上理性Cherednik代数的不可约球对称表示在所有参数值 $c$ 下的支集，分类了这些表示为有限维的条件，推广了Varagnolo与Vasserot对等参数下Weyl群的结果。

ABSTRACT

We determine the support of the irreducible spherical representation (i.e., the irreducible quotient of the polynomial representation) of the rational Cherednik algebra of a finite Coxeter group for any value of the parameter c. In particular, we determine for which values of c this representation is finite dimensional. This generalizes a result of Varagnolo and Vasserot, arXiv:0705.2691, who classified finite dimensional spherical representations in the case of Weyl groups and equal parameters (i.e., when c is a constant function). As an application, we compute the zero set of the kernel of the Macdonald pairing in the trigonometric case (for equal parameters). Our proof is based on the Macdonald-Mehta integral and the elementary theory of distributions.

研究动机与目标

• 确定有限Coxeter群上理性Cherednik代数的不可约球对称表示在所有参数值 $c$ 下的支集。
• 分类使得球对称表示为有限维的 $c$ 值，扩展先前结果。
• 推广Varagnolo与Vasserot在Weyl群等参数情形下对有限维球对称表示的分类结果。
• 在等参数条件下，计算三角函数设定下重整化Macdonald配对核的零点集。
• 通过有限反射群理论，提供一个统一证明，表明有限维球对称表示的分类与Varagnolo和Vasserot的结果一致。

提出的方法

• 使用Macdonald-Mehta积分在复化Cartan子代数上定义一个分布 $\xi_c^R$。
• 应用分布理论分析不可约球对称表示 $L_c$ 的支集。
• 依赖多项式表示 $M_c$ 上的对偶双线性形式 $\beta_c$，其核给出最大子模 $J_c$。
• 使用Poincaré多项式 $P_W(q)$ 及其双变量形式 $P_W(q_1,q_2)$，适用于具有两个反射共轭类的群。
• 利用关系 $ (P,Q)_c = \langle \xi_c^R, PQ \rangle $ 将Macdonald配对与分布 $\xi_c^R$ 联系起来。
• 在附录中应用反射群理论结果，包括正则元素与椭圆元素、余次数等，以实现统一分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些参数 $c$ 值，理性Cherednik代数的不可约球对称表示是有限维的？
• RQ2 对于有限Coxeter群与任意 $c$，不可约球对称表示 $L_c$ 的支集是什么？
• RQ3 $L_c$ 的支集如何与 $P_W/P_{W_a}$ 在 $q = e^{2\pi i c}$ 处的消失性相关？
• RQ4 通过 $c$-值分类有限维球对称表示是否与Varagnolo和Vasserot对Weyl群的结果一致？
• RQ5 在等参数条件下，三角函数设定下重整化Macdonald配对核的零点集是什么？

主要发现

• 不可约球对称表示 $L_c$ 的支集由 $P_W/P_{W_a}$ 在 $q = e^{2\pi i c}$ 处的非零性决定，其中 $W_a$ 是 $a$ 的稳定化子。
• 对于 $W = I_2(2m)$、$B_n$ 或 $F_4$，利用双变量Poincaré多项式显式计算了 $L_c$ 的支集。
• 当 $W = B_2$ 且 $c = 1/2$ 时，支集由两点构成：$(1,1)$ 与 $(-1,-1)$，且 $L_c$ 分解为一个1维与一个4维不可约表示。
• 当且仅当 $c$ 为有理数，且对所有 $a \in \mathfrak{h}_\mathbb{R}$，$P_W/P_{W_a}$ 在 $e^{2\pi i c}$ 处不消失时，表示 $L_c$ 为有限维。
• 在等参数条件下，有限维球对称表示的分类与Varagnolo和Vasserot的结果一致，附录中通过反射群理论实现了统一证明。
• 在三角函数设定下，重整化Macdonald配对核的零点集被识别为 $\xi_c^R$ 的支集，该支集与 $L_c$ 的支集一致。