[论文解读] Sur la cohomologie d'un fibre tautologique sur le schema de Hilbert d'une surface

Gentiana Danila|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 18

一句话总结

本文计算了复代数曲面上点态 Hilbert 模丛 $X^{[m]}$ 上的典范丛与行列式丛扭的典型丛的上同调。通过在关联簇 $X^{[m,m+1]}$ 上使用递归论证，并应用 Kodaira 上同调消去定理与谱序列，证明了当 $ω_X^{-1} \otimes A$、$ω_X^{-1} \otimes L \otimes A$ 与 $A$ 为充分正时，高阶上同调群消失，且全局截面空间同构于 $S^{m-1}(H^0(A)) \otimes H^0(X, L \otimes A)$，从而支持了 $π^2$ 上 Le Potier 的奇异对偶猜想。该结果可推广至 $A = \mathcal{O}_X$ 的情形，得到当 $ω_X^{-1}$ 与 $ω_X^{-1} \otimes L$ 为充分正时，$H^0(X^{[m]}, L^{[m]}) \cong H^0(X, L)$ 的公式。

ABSTRACT

We compute the cohomology spaces for the tautological bundle tensor the determinant bundle on the punctual Hilbert scheme H of subschemes of length n of a smooth projective surface X. We show that for L and A invertible vector bundles on X, and w the canonical bundle of X, if $w^{-1}\otimes L$, $w^{-1}\otimes A$ and A are ample vector bundles, then the higher cohomology spaces on H of the tautological bundle associated to L tensor the determinant bundle associated to A vanish, and the space of global sections is computed in terms of $H^0(A)$ and $H^0(L\otimes A)$. This result is motivated by the computation of the space of global sections of the determinant bundle on the moduli space of rank 2 semi-stable sheaves on the projective plane, supporting Le Potier's Strange duality conjecture on the projective plane.

研究动机与目标

• 计算复代数曲面 $X$ 上点态 Hilbert 模丛 $X^{[m]}$ 的典型丛与行列式丛扭的上同调。
• 在某些典范丛与线丛张量幂的充分正条件下，建立高阶上同调群的消去。
• 导出全局截面空间的显式公式，以 $H^0(A)$ 与 $H^0(X, L \otimes A)$ 表示，从而支持 Le Potier 的奇异对偶猜想。
• 将结果推广至 $A = \mathcal{O}_X$ 的情形，得到当 $ω_X^{-1}$ 与 $ω_X^{-1} \otimes L$ 为充分正时，$H^0(X^{[m]}, L^{[m]})$ 的公式。

提出的方法

• 使用关联簇 $X^{[m,m+1]} \subset X^{[m+1]} \times X^{[m]}$，其参数化满足 $\xi \subset Z$ 的对 $(Z, \xi)$，其中 $\xi$ 与 $Z$ 的长度分别为 $m$ 与 $m+1$。
• 应用 Leray 谱序列与 Künneth 公式，将 $X^{[m,m+1]}$ 上的上同调与 $X^{[m]} \times X$ 及 $X^{[m+1]}$ 上的上同调联系起来。
• 通过映射 $p_m: X^{[m,m+1]} \to X^{[m]}$ 与 $p_{m+1}: X^{[m,m+1]} \to X^{[m+1]}$ 以及投影 $q: X^{[m,m+1]} \to X$（将 $(Z, \xi)$ 映到 $Z$ 与 $\xi$ 唯一不同的点）对 $m$ 进行归纳。
• 应用 Kodaira 上同调消去定理，当 $ω_X^{-1} \otimes A$ 与 $ω_X^{-1} \otimes L \otimes A$ 为充分正时，推导出 $H^q(X, A) = 0$ 与 $H^q(X, L \otimes A) = 0$ 对所有 $q > 0$ 成立。
• 通过对称幂构造与对称群作用下的不变理论，利用同构 $H^0(X^{[m]}, L^{[m]} \otimes d_A^m) \cong S^{m-1}(H^0(A)) \otimes H^0(X, L \otimes A)$。
• 利用 $d_A^m = HC_*((A \boxtimes \cdots \boxtimes A)^{S_m})$ 是与 $A$ 关联的行列式丛，且 $L^{[m]} = p_{1*}(\mathcal{O}_{\Xi_m} \otimes p_2^*L)$ 是典型丛这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $L$ 与 $A$ 条件下，$L^{[m]} \otimes d_A^m$ 在点态 Hilbert 模丛 $X^{[m]}$ 上的高阶上同调消失？
• RQ2 能否显式计算 $L^{[m]} \otimes d_A^m$ 的全局截面空间，以 $H^0(A)$ 与 $H^0(X, L \otimes A)$ 表示？
• RQ3 在 $X^{[m]}$ 上高阶上同调的消去如何与 $π^2$ 上 Le Potier 的奇异对偶猜想相关？
• RQ4 当 $A = \mathcal{O}_X$ 时，若 $ω_X^{-1}$ 与 $ω_X^{-1} \otimes L$ 为充分正，$H^0(X^{[m]}, L^{[m]})$ 的结构如何？
• RQ5 能否通过关联簇 $X^{[m,m+1]}$ 使用递归论证来简化上同调计算？

主要发现

• 若 $ω_X^{-1} \otimes A$、$ω_X^{-1} \otimes L \otimes A$ 与 $A$ 为充分正，则对所有 $q > 0$，有 $H^q(X^{[m]}, L^{[m]} \otimes d_A^m) = 0$。
• 全局截面空间满足同构关系 $H^0(X^{[m]}, L^{[m]} \otimes d_A^m) \cong S^{m-1}(H^0(A)) \otimes H^0(X, L \otimes A)$。
• 当 $A = \mathcal{O}_X$ 时，结果退化为 $H^0(X^{[m]}, L^{[m]}) \cong H^0(X, L)$，前提是 $ω_X^{-1}$ 与 $ω_X^{-1} \otimes L$ 为充分正。
• $H^q(X^{[m]}, d_A^m)$ 对 $q > 0$ 的消去由 $ω_X^{-1} \otimes A$ 的充分正性推出，依据 Kawamata-Viehweg 定理。
• 当 $X = \mathbb{P}^2$，$L = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(3)$，$A = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ 时，上同调在正度数上消失，且全局截面为 $S^{m-1}(H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1))) \otimes H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(4))$。
• 关联簇 $X^{[m,m+1]}$ 的递归结构与谱序列的使用，使得归纳过程得以实现，即将 $X^{[m+1]}$ 上的上同调归约为 $X^{[m]} \times X$ 与 $X^{[m]}$ 上的上同调。