[论文解读] Sur le nombre de points algebriques ou une fonction analytique transcendante prend des valeurs algebriques

Andrea Surroca|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2002

Meromorphic and Entire Functions参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文研究了代数函数在取代数值时其代数点的分布，重点在于在有界次数和高度下对这类点进行计数。构造了一个整的超越函数，使其在每个代数数 α 处取值于 ℚ[α]，并证明对于任意 D ≥ 1，存在无穷多个 N，使得单位圆盘中此类点的数量增长快于 exp(D(D+1)φ(N))，其中 φ 满足 φ(x)/x → 0；同时在一般解析性条件下，也建立了该计数的多项式上界。

ABSTRACT

We study the set of algebraic numbers of bounded height and bounded degree where an analytic transcendental function takes algebraic values.

研究动机与目标

• 理解超越解析函数在取代数数值时其代数点的结构与密度。
• 分析当受限于次数 D 与绝对对数高度 N 时，此类点的基数。
• 构造一个整的超越函数 f，使得对所有代数数 α ∈ ℂ，都有 f(α) ∈ ℚ[α]。
• 在单位圆盘中，对这类点的数量建立精确的渐近下界与上界。
• 表明对所有足够大的 N，该下界无法统一改进，凸显了下界中“无穷多个 N”的必要性。

提出的方法

• 通过次数 d(α) 与绝对对数高度 h(α) 参数化代数数，利用马勒度量 M(α) 定义 h(α) = (1/d(α)) log M(α)。
• 定义 ΣD,N(f,r) 为满足 [ℚ(α,f(α)):ℚ] ≤ D，h(α) ≤ N，且 h(f(α)) ≤ N 的 α ∈ ℚ̄ ∩ D̄(0,r) 的集合。
• 通过具有有理系数的多项式序列 Pk 构造函数 f，利用伽罗瓦不变性确保 f(α) ∈ ℚ[α]。
• 使用西格尔引理，构造一个在每个变量中次数有界的非零整系数多项式 P ∈ ℤ[X,Y]，使其在 S_{D,N} 上消失。
• 应用施瓦茨引理与刘维尔不等式，对 |F(α)| = |P(α,f(α))| 进行有界，通过反证法迫使 F(α) = 0 对所有 α ∈ S_{D,N+1} 成立。
• 通过假设 ΣD,N(f,r) 中点过多导致 F 在无限集上消失，从而导出矛盾，违反孤立零点定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个整的超越函数 f，使得对所有代数数 α，都有 f(α) ∈ ℚ[α]？
• RQ2 在有界次数与高度下，使得 f(α) 也为代数数的代数点 α 的数量，其增长速度有多快？
• RQ3 是否存在关于 D 与 N 的此类点数的通用上界，且该上界能否对所有足够大的 N 统一改进？
• RQ4 当 N 增大时，|ΣD,N(f,r)| 的精确渐近行为如何？其依赖于函数 f 的性质如何？
• RQ5 能否使下界构造对无穷多个 N 成立，且为何无法推广至所有足够大的 N？

主要发现

• 存在一个整的超越函数 f，使得对所有 α ∈ ℚ̄，都有 f(α) ∈ ℚ[α]。
• 对任意满足 φ(x)/x → 0（当 x → ∞ 时）的正函数 φ，存在一个整的超越函数 f，使得对无穷多个 N，有 |ΣD,N(f,1)| ≥ (1/2) exp(D(D+1)φ(N))。
• 对任意在 D(0,R) 上解析的函数 f（R > r > 0），存在常数 γ > 0，使得对无穷多个 N，有 |ΣD,N(f,r)| < γ D³ N²。
• 下界无法改进为对所有足够大的 N 成立，上界也无法在所有 N 上统一加强。
• 次数 ≤ D 且高度 ≤ N 的代数数集合 E_{D,N} 的基数满足 exp(D(D+1)(N−1)) < ε_{D,N} ≤ exp(D(D+1)(N+1))。
• 该构造依赖于一组具有有理系数的多项式 Pk，其在伽罗瓦作用下保持不变，从而确保对所有 α，都有 f(α) ∈ ℚ[α]。