[论文解读] Survival and extinction of epidemics on random graphs with general degrees

Shankar Bhamidi, Danny Nam+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用 9

一句话总结

该论文建立了在具有广义度分布的随机图和Galton-Watson树上接触过程灭绝与存活的必要且充分条件。证明了当且仅当后代分布具有指数尾部时，Galton-Watson树上的存活阈值λ₁ > 0，从而解决了Huang和Durrett的猜想。对于具有度分布μ的随机图，当μ具有指数尾部且λ较小时，会出现短期存活（n^{1+o(1)}时间）；而当μ为亚指数尾部或λ较大时，会出现长期存活（e^{Θ(n)}时间）。

ABSTRACT

In this paper, we establish the necessary and sufficient criterion for the contact process on Galton-Watson trees (resp. random graphs) to exhibit the phase of extinction (resp. short survival). We prove that the survival threshold $λ_1$ for a Galton-Watson tree is strictly positive if and only if its offspring distribution $ξ$ has an exponential tail, i.e., $\mathbb{E} e^{cξ}0$, settling a conjecture by Huang and Durrett [12]. On the random graph with degree distribution $μ$, we show that if $μ$ has an exponential tail, then for small enough $λ$ the contact process with the all-infected initial condition survives for $n^{1+o(1)}$-time w.h.p. (short survival), while for large enough $λ$ it runs over $e^{Θ(n)}$-time w.h.p. (long survival). When $μ$ is subexponential, we prove that the contact process w.h.p. displays long survival for any fixed $λ>0$.

研究动机与目标

• 确定在度分布无界的Galton-Watson树上，接触过程灭绝的必要且充分条件。
• 刻画具有广义度分布μ的随机图上接触过程的存活行为。
• 解决Huang和Durrett关于Galton-Watson树上弱-强存活阈值λ₂为正的猜想。
• 基于μ的尾部行为，建立随机图中短期存活（n^{1+o(1)}）与长期存活（e^{Θ(n)}）之间的二分性。
• 根据度分布尾部性质，为随机图和Galton-Watson树上的接触过程提供完整的相图。

提出的方法

• 使用分支过程和耦合论证分析Galton-Watson树上的接触过程，将灭绝与后代分布ξ的指数尾部联系起来。
• 应用配置模型构造具有给定度分布μ的随机图G ∼ G(n, μ)，其中μ满足E[D(D−2)] > 0且E[D²] < ∞。
• 使用结构引理识别图中的嵌入扩张子，依赖于局部邻域探索和度集中性。
• 采用两阶段图预处理：首先剪除高阶度顶点；其次选取度为j的顶点子集，形成具有可控扩张性的子图。
• 对违反扩张性质的小集合数量应用概率界，使用矩界和指数尾部估计。
• 推导出参数j、R、R₁和r的条件，以确保存在具有足够扩张性和最小度的(α, 2R+1)-嵌入扩张子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在后代分布ξ满足何种条件时，Galton-Watson树上的接触过程会以概率1灭绝？
• RQ2 对于具有重尾后代分布的Galton-Watson树，弱-强存活阈值λ₂是否严格为正？
• RQ3 在具有度分布μ的随机图上，接触过程的存活时间为何种类型（短期存活n^{1+o(1)}或长期存活e^{Θ(n)}）？
• RQ4 度分布μ的尾部行为（指数尾部与亚指数尾部）如何影响接触过程的存活时间？
• RQ5 在一般度分布下，能否保证随机图中存在(α, 2R+1)-嵌入扩张子？其与存活时间有何关联？

主要发现

• 当后代分布ξ具有指数尾部，即存在c > 0使得E[e^{cξ}] < ∞时，Galton-Watson树上的接触过程对任意小的λ > 0会以概率1灭绝。
• 该结果解决了Huang和Durrett的猜想：当P(ξ ≥ k)对大k呈指数衰减时，λ₂ > 0。
• 对于随机图G ∼ G(n, μ)，若μ具有指数尾部，则存在阈值λ̲(μ)和λ̄(μ)，使得当λ < λ̲(μ)时，存活时间以高概率至多为n^{1+o(1)}（短期存活）；当λ > λ̄(μ)时，存活时间以高概率为e^{Θ(n)}（长期存活）。
• 当μ为亚指数尾部时，对任意固定的λ > 0，G ∼ G(n, μ)上的接触过程均表现出长期存活（e^{Θ(n)}时间），无论λ大小如何。
• 证明依赖于在图中构造一个(α, 2R+1)-嵌入扩张子，该扩张子在接触过程动力学下保持稳定，当扩张性足够强时可确保长期存活。
• 通过利用μ的亚指数或指数尾部行为，采用概率构造方法，可保证此类扩张子的存在性。