[论文解读] The Contact Process on Random Graphs and Galton-Watson Trees

Xiangying Huang, Rick Durrett|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2018

Complex Network Analysis Techniques参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文分析了随机图和Galton-Watson树上的接触过程，通过引入星形图上存活时间的精细估计，推导出临界感染率的更紧边界。结果表明，对于次指数 offspring 分布，局部存活是确定的（$ less 0$），而对于几何 offspring 分布，$ less$ 显著小于先前估计值，且在配置模型图上，$ less(n)$ 的收敛速率得到改进。

ABSTRACT

The key to our investigation is an improved (and in a sense sharp) understanding of the survival time of the contact process on star graphs. Using these results, we show that for the contact process on Galton-Watson trees, when the offspring distribution (i) is subexponential the critical value for local survival $λ_2=0$ and (ii) when it is geometric($p$) we have $λ_2 \le C_p$, where the $C_p$ are much smaller than previous estimates. We also study the critical value $λ_c(n)$ for "prolonged persistence" on graphs with $n$ vertices generated by the configuration model. In the case of power law and stretched exponential distributions where it is known $λ_c(n) o 0$ we give estimates on the rate of convergence. Physicists tell us that $λ_c(n) \sim 1/Λ(n)$ where $Λ(n)$ is the maximum eigenvalue of the adjacency matrix. Our results show that this is not correct.

研究动机与目标

• 改进对星形图上接触过程存活时间的理解，该过程是分析更复杂随机图和树结构的基础工具。
• 在不同 offspring 分布下，确定 Galton-Watson 树上局部存活的临界值 $ less$，特别是次指数和几何分布情形。
• 分析由配置模型生成的有限随机图上长期持续的临界值 $ less(n)$，特别是幂律和展平指数度分布情形。
• 评估物理学家启发式方法 $ less(n) \sim 1/\Lambda(n)$ 的准确性，其中 $ less(n)$ 是邻接矩阵的最大特征值，适用于不同度分布的情形。
• 建立 $ less(n)$ 的改进上界，并量化在幂律和展平指数情形下 $ less(n)$ 收敛于零的速率。

提出的方法

• 将星形图上的连续时间接触过程简化为仅在中心节点被感染时记录的离散时间出生-死亡链，以简化分析。
• 引入一种修正过程，其中感染率被限制在 $pk$ 以内，且 $p = \lambda/(1+2\lambda)$，以确保受感染叶节点数量有界，从而可应用鞅方法。
• 对从嵌入链导出的上鞅应用可选停时定理，以控制灭绝概率并估计存活时间。
• 使用耦合论证将单个星形图的存活与偏置随机游走进行比较，表明受感染星形图的数量主导一个具有正漂移的超临界随机游走。
• 应用大偏差估计和指数界，以控制星形图之间感染传递周期中灭绝的概率。
• 通过将星形图的存活时间与成功感染传递所需时间相等，推导出 $ less(n)$ 的渐近界，得到基于 $ less^2 k$ 缩放的临界值估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 星形图（具有 $k$ 个叶节点）上接触过程的存活时间的精确渐近行为是什么？
• RQ2 Galton-Watson 树上局部存活的临界值 $ less$ 如何依赖于 offspring 分布，特别是次指数和几何分布情形？
• RQ3 对于具有幂律和展平指数度分布的配置模型随机图，$ less(n)$ 收敛于零的速率如何？
• RQ4 物理学家启发式方法 $ less(n) \sim 1/\Lambda(n)$ 对所有度分布都准确吗，还是在某些情况下失效？
• RQ5 能否通过基于星形图的组件和随机游走耦合，对随机图上接触过程的存活时间建立下界？

主要发现

• 对于 Galton-Watson 树上的次指数 offspring 分布，局部存活的临界值为 $ less = 0$，意味着对任意 $\lambda > 0$，过程以正概率存活。
• 对于参数为 $p$ 的几何 offspring 分布，临界值 $ less$ 的上界为 $C_p$，其中 $C_p$ 显著小于先前估计值。
• 在具有幂律度分布 ($P(d \geq m) \sim m^{-a}$) 的配置模型图上，$ less(n) \sim n^{-1/2a}$，本文在大 $n$ 时以高概率确认了该速率。
• 对于展平指数度分布 ($P(d \geq m) \sim \exp(-m^{1/b})$)，$ less(n) \sim \log^{-b/2}n$，本文表明物理学家启发式方法 $ less(n) \sim 1/\Lambda(n)$ 在此情形下失效。
• 此类图上接触过程的存活时间至少为 $\exp(O(n^{\epsilon}))$，其中 $\epsilon > 0$，通过证明受感染星形图的数量主导一个超临界随机游走而实现。
• 本文证明，在展平指数图上，$ less(n)$ 的衰减速率慢于 $1/\Lambda(n)$，表明该启发式方法在此参数域中不准确。