[论文解读] Survival probabilities of some iterated processes

Christoph Baumgarten|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用 9

一句话总结

本文研究了迭代随机过程的生存概率，其中过程 $ X $ 与另一过程 $ Y $ 的绝对值或符号复合。对于连续且自相似的 $ Y $，$ X  \big( |Y_t|  \big) $ 的生存指数为 $ \theta H $，其中 $ \theta $ 是 $ X $ 的生存指数，$ H $ 是 $ Y $ 的自相似指数。一个关键结果是，迭代布朗运动的生存概率衰减为 $ T^{-1/2} $，证实了标准布朗运动 $ X $ 与 $ Y $（$ H = 1/2 $）的指数乘积 $ \theta H = 1/4 $。

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviour of the probability that a stochastic process $(Z_t)_{t \geq 0}$ does not exceed a constant barrier up to time $T$ (the so called survival probability) when Z is the composition of two independent processes $(X_t)_{t \in I}$ and $(Y_t)_{t \geq 0}$. To be precise, we consider $(Z_t)_{t \geq 0}$ defined by $Z_t = X \circ \abs{Y_t}$ when $I = [0,\infty)$ and $Z_t = X \circ Y_t$ when $I = \mathbb{R}$. For continuous self-similar processes $(Y_t)_{t \geq 0}$, the rate of decay of survival probability for $Z$ can be inferred directly from the survival probability of $X$ and the index of self-similarity of $Y$. As a corollary, we obtain that the survival probability for iterated Brownian motion decays asymptotically like $T^{-1/2}$. If $Y$ is discontinuous, the range of $Y$ possibly contains gaps which complicates the estimation of the survival probability. We determine the polynomial rate of decay for $X$ being a Lévy process (possibly two-sided if $I = \mathbb{R}$) and $Y$ being a Lévy process or random walk under suitable moments conditions.

研究动机与目标

• 确定迭代过程 $ Z_t = X(|Y_t|) $ 或 $ Z_t = X(Y_t) $ 的生存概率 $ P(\sup_{t \in [0,T]} Z_t \leq 1) $ 的渐近衰减速率。
• 建立外层过程 $ X $ 的生存指数与内层过程 $ Y $ 的自相似性或路径性质如何共同决定整体生存指数。
• 将已知的一侧首次通过问题结果扩展至迭代过程类，特别是对于 Lévy 过程和自相似过程。
• 解决 $ Y $ 不连续时的挑战，此时 $ Y $ 的取值范围存在间隙，使生存概率估计复杂化。
• 在 $ X $ 和 $ Y $ 满足矩条件的前提下，提供精确的多项式衰减速率，包括带漂移或零均值的情况。

提出的方法

• 利用 $ Y $ 的自相似性和路径连续性，将 $ X(|Y_t|) $ 的生存概率与 $ Y $ 在时间 $ T $ 之前的典型范围联系起来，该范围按 $ T^H $ 缩放。
• 应用小偏差概率条件 $ P(\sup_{t \in [0,1]} |Y_t| \leq \epsilon) \precsim \epsilon^\rho $，以排除 $ Y $ 长时间停留在零附近的贡献。
• 基于 $ Y $ 的上确界 $ M_T $ 和下确界 $ I_T $ 进行分解，将生存概率写为 $ E[ P(\sup_{t \in [I_T, M_T]} X_t \leq 1 \mid \mathcal{F}_T^Y) ] $。
• 对于 Lévy 过程，利用 $ X $ 和 $ Y $ 的矩条件，特别是 $ X_1^+, X_1^- \in \mathcal{X}(\alpha) $，以控制尾部和生存概率。
• 应用 Molchan (1999) 关于分数布朗运动的结果，推导出在逆局部时间可积条件下的生存指数，该指数与赫斯特参数 $ H $ 无关。
• 使用耦合和矩估计，控制 $ X $ 在由 $ Y $ 的范围决定的区间内保持低于 1 的概率，尤其在随机游走情况下。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ Y $ 连续且自相似时，$ X(|Y_t|) $ 的生存指数如何与 $ X $ 的生存指数和 $ Y $ 的自相似指数 $ H $ 相关？
• RQ2 迭代布朗运动的生存概率衰减速率是多少，其与各独立过程指数乘积相比如何？
• RQ3 当 $ Y $ 是带漂移或零均值的 Lévy 过程，且 $ X $ 是 Lévy 或 Lévy 型过程时，$ X(Y_t) $ 的生存概率行为如何？
• RQ4 $ Y $ 的小偏差在决定迭代过程 $ Z = X \circ |Y| $ 的生存指数中起什么作用？
• RQ5 以自相似过程为时变过程子ordinated 的两栖分数布朗运动的生存指数是否依赖于赫斯特参数 $ H $？

主要发现

• 对于连续且自相似指数为 $ H $ 的 $ Y $，若 $ Y $ 满足温和的小偏差条件，则 $ X(|Y_t|) $ 的生存概率衰减为 $ T^{-\theta H} $，其中 $ \theta $ 是 $ X $ 的生存指数。
• 迭代布朗运动的生存指数为 $ 1/4 $，对应于标准布朗运动 $ X $ 的 $ \theta = 1/2 $ 和时间过程 $ Y $ 的 $ H = 1/2 $。
• 当 $ Y $ 是零均值 Lévy 过程，且 $ X $ 是满足 $ X_1^+, X_1^- \in \mathcal{X}(\alpha) $ 的两栖 Lévy 过程时，$ X(Y_t) $ 的生存概率衰减为 $ T^{-1/2} $，最多带有对数修正项。
• 若 $ Y $ 具有正漂移，则 $ X(Y_t) $ 的生存概率仍衰减为 $ T^{-1/2} $，但带有对数修正因子 $ (\log T)^{1/\alpha} $，反映出 $ X $ 的一个分支占主导。
• 对于赫斯特参数 $ H \in (0,1) $ 的分数布朗运动 $ X $，若其子ordinated 于连续自相似过程 $ Y $（自相似指数为 $ \lambda $），则在逆局部时间可积条件下，生存指数为 $ \lambda $，与 $ H $ 无关。
• 当 $ Y $ 为随机游走且 $ X $ 为 Lévy 过程时，$ X(Y_t) $ 的生存指数为 $ 1/2 $，无论是否存在漂移，这是由于 $ Y $ 的典型波动与 $ X $ 的生存指数之间的相互作用。