[论文解读] Symbolic Models for Nonlinear Time-Varying Time-Delay Systems via Alternating Approximate Bisimulation

Giordano Pola, Pierdomenico Pepe+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2010

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于交替近似双胞胎关系的非线性时变时滞系统符号模型，引入了增量输入时滞-状态稳定性（δ-IDSS），其通过李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函进行表征。主要贡献在于证明了此类系统可计算出与原始系统交替近似双胞胎的符号模型，且精度可调。

ABSTRACT

Time-delay systems are an important class of dynamical systems that provide a solid mathematical framework to deal with many application domains of interest. In this paper we focus on nonlinear control systems with unknown and time-varying delay signals and we propose one approach to the control design of such systems, which is based on the construction of symbolic models. Symbolic models are abstract descriptions of dynamical systems where one symbolic state and one symbolic input correspond to an aggregate of states and an aggregate of inputs. We first introduce the notion of incremental input-delay-to-state stability and characterize it by means of Lyapunov-Krasovskii functionals. We then derive sufficient conditions for the existence of symbolic models that are shown to be alternating approximately bisimilar to the original system. Further results are also derived which prove the computability of the proposed symbolic models in a finite number of steps.

研究动机与目标

• 解决工程与生物系统中常见但未知且时变的时滞非线性系统控制挑战。
• 将基于符号模型的控制设计从已知/恒定时滞扩展至时变且未知的时滞信号。
• 为使用离散抽象形式化验证连续时间时滞系统的复杂规范（如安全性、活锁性）提供正式框架。
• 在状态、输入与时滞有界性假设下，确保符号模型可在有限时间内计算得出。
• 通过一种新型稳定性概念——δ-IDSS，建立控制理论稳定性与形式化方法之间的联系。

提出的方法

• 提出增量输入时滞-状态稳定性（δ-IDSS）的新概念，用于量化在不同初始条件、输入与时滞信号下的轨迹差异。
• 利用依赖于两条系统轨迹差异的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函表征δ-IDSS。
• 构建符号模型，其中每个符号状态与输入代表连续状态与输入的聚合，时滞信号亦被抽象化。
• 在原始系统与其符号模型之间建立交替近似双胞胎关系，确保行为近似在用户定义的精度范围内。
• 提出一种在状态、输入与时滞集合有界性假设下的有限步计算程序以生成符号模型。
• 改进先前工作的算法以提升计算效率，并通过一个二维时滞系统的数值案例研究加以验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有未知时滞的非线性时变时滞系统构建符号模型？
• RQ2 何种稳定性性质是确保符号模型与原始系统交替近似双胞胎的必要且充分条件？
• RQ3 如何控制并使符号抽象的精度任意减小？
• RQ4 在实际有界性假设下，符号模型是否可在有限时间内计算得出？
• RQ5 所提框架能否支持超出稳定化的复杂控制规范，如同步或安全性？

主要发现

• 所提出的δ-IDSS条件通过李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函表征，能够捕捉轨迹对初始条件、输入与时滞信号差异的敏感性。
• 在数值示例中，构造了δ-IDSS李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函，其中β(ω,t) = 4.3580e^(-1.0870t)ω，γ_U(ω) = 13.5647ω，γ_D(ω) = 194.1666ω，验证了系统的δ-IDSS性质。
• 当ε = 0.12时，采用τ = 2，λ_X = 0.02，λ_U = 5×10⁻⁴，λ_D = 1.4×10⁻⁴构造了符号模型，满足所需的双胞胎不等式。
• 使用标准算法，符号模型在约203,215秒内计算完成，而优化后的算法将求解时间缩短至标准笔记本电脑上的7,692秒。
• 符号控制策略在时变时滞Δ(t) = 1.5 + 0.5sin(0.01t)下成功实现了原始系统的同步，仿真结果已验证。
• 该框架确保符号模型与原始系统交替近似双胞胎，从而支持复杂控制规范的形式化验证与综合。