[论文解读] Symbolic powers versus regular powers of ideals of general points in P^1 x P^1

Elena Guardo, Brian Harbourne+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2011

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文研究了在乘积空间 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中一般点所定义的理想之符号幂与普通幂，计算了渐近不变量 $\gamma(I)$，并确定了符号幂与普通幂何时相等。通过双齐次 Hilbert 函数与数值准则，作者证明：当且仅当 $s = 1,2,3,$ 或 $5$ 时，$I^m = I^{(m)}$，其中 $s$ 为一般点的个数，且给出了 $s \leq 8$ 时 $\gamma(I)$ 的显式值，以及 $s \geq 9$ 时的界。主要贡献在于完整分类了这些理想在何种情况下符号幂与普通幂相等。

ABSTRACT

Recent work of Ein-Lazarsfeld-Smith and Hochster-Huneke raised the problem of which symbolic powers of an ideal are contained in a given ordinary power of the ideal. Bocci-Harbourne developed methods to address this problem, which involve asymptotic numerical characters of symbolic powers of the ideals. Most of the work done up to now has been done for ideals defining 0-dimensional subschemes of projective space. Here we focus on certain subschemes given by a union of lines in ${\bf P}^3$ which can also be viewed as points in ${\bf P}^1 imes {\bf P}^1$. We also obtain results on the closely related problem, studied by Hochster and by Li-Swanson, of determining situations for which each symbolic power of an ideal is an ordinary power.

研究动机与目标

• 确定 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中一般点的理想之符号幂与普通幂在何时相等。
• 计算 $s$ 个一般点的理想之渐近不变量 $\gamma(I) = \lim_{m \to \infty} \alpha(I^{(m)})/m$。
• 将普通幂中包含符号幂的数值准则推广至 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 的双齐次设定。
• 分析当 $s \geq 4$ 时符号幂与普通幂不相等的失败原因，以及当 $s \geq 6$ 时的类似情况。

提出的方法

• 使用双齐次 Hilbert 函数分析 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中理想齐次分量的维数。
• 应用引理 3.2.3 计算处于多重性 1 一般位置的点的理想之 $\dim((I^{(2)})_{(i,j)})$。
• 在特定双次数（尤其是 $(3, q_1 + q_2)$）下比较 $I^2$ 与 $I^{(2)}$ 的维数，以检测不等式。
• 将 $I^2$ 分解为齐次分量的乘积，以界定 $\dim((I^2)_{(3,q_1+q_2)})$。
• 利用关系式 $s = 2q_1 + r_1 = 3q_2 + r_2$，将 $\gamma(I)$ 与维数差异用 $q_1, q_2, r_1, r_2$ 表示。
• 借助关于符号幂的已知结果，并利用 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中点的理想对应于 $\mathbb{P}^3$ 中直线的事实，将问题重新解释为更具几何意义的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中，对于多少个一般点 $s$，其定义理想的符号幂与普通幂对所有 $m \geq 1$ 相等？
• RQ2 对于 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中 $s$ 个一般点的理想 $I$，$\gamma(I)$ 的值是多少？其随 $s$ 如何增长？
• RQ3 当 $I$ 是 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中 $s$ 个一般点的理想时，哪些 $s$ 满足 $I^{(2)} \neq I^2$？
• RQ4 是否能通过在特定双次数下比较维数来检测 $I^2$ 与 $I^{(2)}$ 的差异？
• RQ5 点的多重性 1 一般位置如何影响 Hilbert 函数，以及符号幂与普通幂的比较？

主要发现

• 当 $s=1$ 时，$\gamma(I) = 1$；当 $s=2,3$ 时，$\gamma(I) = 2$；当 $s=4$ 时，$\gamma(I) = 8/3$；当 $s=5$ 时，$\gamma(I) = 3$；当 $s=6$ 时，$\gamma(I) = 24/7$；当 $s=7$ 时，$\gamma(I) = 56/15$；当 $s=8$ 时，$\gamma(I) = 4$。
• 当 $s \geq 9$ 时，$\gamma(I)$ 满足 $\sqrt{s} - 1 < \gamma(I) \leq \sqrt{2s}$。
• 在 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中，$s$ 个一般点的理想 $I$ 的符号幂与普通幂对所有 $m \geq 1$ 相等，当且仅当 $s = 1,2,3,$ 或 $5$。当 $s=4$ 和 $s \geq 6$ 时，$I^{(m)} \neq I^m$。
• $I^{(2)} \neq I^2$ 对于 $s \geq 7$ 成立，通过在双次数 $(3, q_1 + q_2)$ 下比较维数得到证明，其中 $\dim(I^{(2)})_{(3,q_1+q_2)} > \dim((I^2)_{(3,q_1+q_2)})$。
• 对于 $s=6$，通过直接计算确认 $I^{(2)} \neq I^2$：由于 $\alpha(I) = 4$，故 $\alpha(I^2) = 8$，但 $\alpha(I^{(2)}) \leq 7$，这意味着 $I^2 \subsetneq I^{(2)}$。
• 对 $s \geq 7$ 的证明依赖于 Hilbert 函数与引理 3.2.3 中的维数公式，表明 $\dim(I^{(2)})_{(3,q_1+q_2)} = q_2 + 4 - 2r_1 - r_2 > (2 - r_1)(3 - r_2) \geq \dim((I^2)_{(3,q_1+q_2)})$。