[论文解读] Symbolic Rees algebras, vertex covers and irreducible representations of Rees cones

Luis A. Dupont, Rafael H. Villarreal|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2007

Commutative Algebra and Its ApplicationsMathematics参考文献 24被引用 21

一句话总结

本论文通过不可约顶点覆盖与Rees锥的Hilbert基，利用图论方法对边理想及其Alexander对偶的符号Rees代数的极小生成元进行了表征。研究发现，图的阻塞图的不可约二元b-顶点覆盖与不可约诱导子图一一对应，从而可借助Hilbert基系统计算所有奇洞与反洞，并构建了图锥构造下符号Rees代数的高次极小生成元。

ABSTRACT

Let G be a simple graph and let J be its ideal of vertex covers. We give a graph theoretical description of the irreducible b-vertex covers of G, i.e., we describe the minimal generators of the symbolic Rees algebra of J. Then we study the irreducible b-vertex covers of the blocker of G, i.e., we study the minimal generators of the symbolic Rees algebra of the edge ideal of G. We give a graph theoretical description of the irreducible binary b-vertex covers of the blocker of G. It is shown that they correspond to irreducible induced subgraphs of G. As a byproduct we obtain a method, using Hilbert bases, to obtain all irreducible induced subgraphs of G. In particular we obtain all odd holes and antiholes. We study irreducible graphs and give a method to construct irreducible b-vertex covers of the blocker of G with high degree relative to the number of vertices of G.

研究动机与目标

• 使用图论不变量描述图的边理想的符号Rees代数的极小生成元。
• 以不可约诱导子图为基准，表征图的阻塞图的不可约b-顶点覆盖。
• 利用Rees锥的Hilbert基开发一种系统方法，以计算所有不可约诱导子图，包括奇洞与反洞。
• 构建相对于阻塞图顶点数而言高次的不可约b-顶点覆盖。
• 通过多面体几何建立符号Rees代数生成元与杂类中组合结构之间的联系。

提出的方法

• 利用边理想的Rees锥，将符号Rees代数表示为R^{n+1}中的有理多面体锥。
• 应用整数Hilbert基，通过Rees锥的不可约表示识别符号Rees代数的极小生成元。
• 将b-顶点覆盖与不可约b-顶点覆盖定义为满足由杂类最小顶点覆盖导出的特定线性不等式的Z^{n+1}中的向量。
• 将图G的阻塞图构造为G的最小顶点覆盖的杂类，并通过不可约覆盖研究其符号Rees代数。
• 对图G进行r重锥构造，生成高维杂类G_r，并推导R_s(I(G_r))的极小生成元的次数界。
• 利用如下事实：Z^{n+1}中的向量(a_1, ..., a_n, -b)是符号Rees代数的极小生成元，当且仅当它通过不可约b-覆盖定义了Rees锥的一个面。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用图论不变量描述图的边理想的符号Rees代数的极小生成元？
• RQ2 图的阻塞图的不可约b-顶点覆盖与其不可约诱导子图之间存在何种关系？
• RQ3 能否利用Rees锥的Hilbert基系统计算所有不可约诱导子图，包括奇洞与反洞？
• RQ4 如何构建相对于阻塞图顶点数而言高次的不可约b-顶点覆盖？
• RQ5 图的锥的边理想的符号Rees代数的结构如何？其极小生成元的次数是多少？

主要发现

• 图的阻塞图的不可约二元b-顶点覆盖与原图的不可约诱导子图完全对应。
• 利用Rees锥的Hilbert基的方法可系统计算所有不可约诱导子图，包括所有奇洞与反洞。
• 对于由n个顶点、顶点覆盖数为g的图G进行r重锥构造所得的图G_r，其符号Rees代数R_s(I(G_r))在变量t中存在一个次数为n + (r-1)(n - g)的极小生成元。
• 在奇圈C_s（长度s = 2k+1）的r重锥构造下，其符号Rees代数存在极小生成元x_1⋯x_s x_{s+1}^k⋯x_{s+r}^k t^{rk + k + 1}，表明t的次数可超过顶点数。
• 通过构造向量β = (a_1, ..., a_n, (∑a_i - b), -∑a_i)（其中a_i ≥ 1）可得到阻塞图Rees锥的一个面，从而证明对应的单项式是符号Rees代数的极小生成元。
• 最小顶点覆盖的线性无关特征向量的存在性确保所构造的面维数为n+1，从而确认了该生成元的极小性。