[论文解读] SymDPoly: symmetry-adapted moment relaxations for noncommutative polynomial optimization

Denis Rosset|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Quantum Information and Cryptography参考文献 53被引用 7

一句话总结

该论文介绍了 SymDPoly，一个软件库，可自动发现并利用量子信息中非交换多项式优化问题中的对称性。通过应用对称自适应的矩松弛方法，显著减小了半定规划（SDP）的规模，使内存使用和计算时间降低数个数量级，同时提高了求解精度。在 $I_{3322}$ 不等式上的实验表明，通过对称化可将精度提高最多达 10 倍。

ABSTRACT

Semidefinite relaxations are widely used to compute upper bounds on the objective of optimization problems involving noncommutative polynomials. Such optimization problems are prevalent in quantum information. We present an algorithm able to discover automatically and exploit the symmetries present in the problem formulation. We also provide an open source software library written in Scala ( https://denisrosset.github.io/symdpoly ) that computes symmetry-adapted semidefinite relaxations with interfaces to a variety of open-source and commercial semidefinite solvers. We discuss the advantages of symmetrization, namely reductions in memory use, computation time, and increase in the solution precision.

研究动机与目标

• 为解决非交换多项式优化中半定松弛的高计算成本，特别是在量子信息背景下的问题。
• 开发一种自动发现并应用涉及非交换多项式的优化问题中对称性的方法。
• 通过对称自适应的矩松弛方法，减少内存使用、计算时间，并提高半定规划的求解精度。
• 提供一个基于 Scala 的开源软件库，可与多种 SDP 求解器接口，并自动化对称性约化松弛的构建。
• 在基准问题（如 $I_{3322}$ 不等式）上展示对称化方法的有效性，并提供高精度的数值结果。

提出的方法

• 该方法基于带有对合运算的非交换单项式及重写规则的形式化框架，来表示多项式优化问题。
• 通过识别问题的完整对称群（包括与对合运算可交换的置换不变性），应用群论对称性约化。
• 算法在对称自适应基底下构建矩松弛，将 SDP 矩阵块对角化，从而减小规模与复杂度。
• 采用块对角化技术，将矩矩阵分解为更小、独立的块，显著降低内存与 CPU 资源需求。
• 实现采用自定义的 Scala 软件库，可自动检测对称性并构建约化后的 SDP 松弛，与 SDPA 和 VSDP 等求解器接口。
• 该方法基于 Moroder 等人以及 Burgdorf 等人的矩松弛层次结构，统一于同一形式化框架之下。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何自动发现并利用非交换多项式优化问题中的对称性，以降低计算成本？
• RQ2 在量子信息问题的半定松弛中，对称性适配在多大程度上能减少内存使用和计算时间？
• RQ3 对称自适应松弛能否提升 SDP 求解的数值精度，特别是在高精度计算场景下？
• RQ4 对称性约化后 SDP 的块对角结构如何影响现代求解器的收敛性与鲁棒性？
• RQ5 对称化对基准量子非定域性问题（如 $I_{3322}$ 不等式）的求解有何影响？

主要发现

• 在松弛层次的第 3 层，对称性适配将变量数从 867 个减少到 124 个，最大块大小从 88 降至 22，计算时间由 73.2 秒降至 1.2 秒。
• 在第 4 层，对称性约化将内存使用从 331 MB 降低至 10 MB，计算时间由 8416 秒降至 62.6 秒，实现 135 倍的加速。
• 对称化使求解精度提高约一位有效数字：原始与对偶解之间的间隙由约 10⁻³¹ 降低至约 10⁻³⁰，$I_3$ 的边界更紧。
• 对于 $I_3$，对称化得到的解区间为 [1.250875561, 1.250875568]，而未对称化时为 [1.25087555, 1.25087557]，证实了精度的提升。
• 该方法成功在 8700 秒内计算出第 5 层松弛，采用 4 个块对角结构，展示了对更高次松弛的可扩展性。
• 使用高精度求解器（双精度双倍与四倍精度）的结果表明，对称化能增强数值稳定性与精度，尤其在病态问题中表现更优。