[论文解读] Symmetric derivation of singlet correlations in a quaternionic 3-sphere model

Joy Christian|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2022

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 23被引用 22

一句话总结

本文提供一个在四元数3-球S3中利用几何代数的观测对称、局部因果推导的单态态相关性，并将其与 Bell 的 IR3 模型进行比较，推导出 E(a,b) = -cos(eta_ab)。

ABSTRACT

Using the powerful language of geometric algebra, we present an observationally symmetric derivation of the strong correlations predicted by the entangled singlet state in a deterministic and locally causal model, usually also referred to as a local-realistic model, in which the physical space is assumed to be a quaternionic 3-sphere, or $S^3$, available as the spatial part of a solution of Einstein's field equations of general relativity, and compare it in quantitative detail with Bell's local-realistic model for the singlet correlations set within a flat Euclidean space ${\mathrm{I\!R}^3}$. Since the quantitatively detailed expressions of relative-angle-dependent probabilities of observing measurement outcomes for Bell's local model do not seem to have been fully articulated before, our novel analysis exploiting the non-commutative properties of quaternions, in addition to allowing the comparison with the quaternionic 3-sphere model, may also provide useful comparisons for other less compelling local-realistic models, such as those relying on retrocausality or superdeterminism. Apart from the conservation of zero spin angular momentum, the key attribute underlying the strong singlet correlations within $S^3$ in comparison with Bell's local model turns out to be the spinorial sign changes intrinsic to quaternions that constitute the 3-sphere. In addition, we also discuss anew a macroscopic experiment that can, in principle, test our 3-sphere hypothesis.

研究动机与目标

• 通过在几何（克利福德）代数中将物理空间建模为四元数3-球 S3，来为局部现实解释量子相关性提供动机。
• 证明在保持局部性和现实性的前提下，S3 中可以确定性地产生强的单态相关性。
• 在量化上将 S3 模型与 Bell 的 IR3 局部模型在单态相关性方面进行比较。
• 阐明自旋子符号变化和四元数非对易性在产生观测相关性中的作用。
• 提出对 S3 假设的宏观实验测试。

提出的方法

• 通过 beta/2 旋转和 J(r) 作为 Cl3,0 的单位二向量定义四元数3-球 S3。
• 将探测器取向和自旋方向表示为 S3 内的单位二向量 D(a) 和 L(s)。
• 施加总自旋角动量为零的约束，使得 L(s1) = L(s2) 且两粒子共享一个隐含的自旋方向 s。
• 将局部测量函数 A(a,s1) 与 B(b,s2) 定义为趋近 mu1 a 与 mu2 b 的极限，得到 ±1 的结果。
• 证明 A(a,s1) 与 B(b,s2 对应于 S3 中四元数的极限标量点，并在计算相关性时遵循对称的乘积顺序。
• 推导单态相关性为 E(a,b) = ∫ A(a,s1) B(b,s2) p(si) ds i，其中对 S2 的分布 p(si) 为均匀分布，得到 E(a,b) = -cos(eta_ab)。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个在四元数3-球中实现的局部现实模型是否能够再现量子单态相关性？
• RQ2 在 S3 中自相关性的角度依赖形式的显式形式是什么？它们与 Bell 的 IR3 模型相比如何？
• RQ3 自旋子符号变化和四元数非对易性如何影响测量结果及其相关性？
• RQ4 S3 框架是否允许在两种测量顺序下对相关性进行对称、与观察者无关的计算？
• RQ5 作者提出的 S3 假设是否可以通过作者建议的宏观实验进行测试？

主要发现

• 该模型在 S3 内产生的强单态相关性与形式 E(a,b) = -cos(eta_ab) 相符。
• 推导使用 S3 固有的非对易四元数代数和自旋子符号变化来再现通常归因于量子纠缠的相关性。
• 通过引入一个可定向的 S3 与 50/50 的取向隐变量，保持 A 与 B 交换时的对称性，从而在期望函数中恢复对称性。
• 局部测量函数 A(a,s1) 与 B(b,s2 仅依赖于局部探测器方向和隐含自旋方向，维持局部性与现实性。
• 对于特殊情形 a = b，模型给出完全反相关，即 A(a,s1) B(a,s2) = -1，与单态行为一致。
• 分析包括与 Bell 的 IR3 局部模型的形式比较，强调 S3 的几何结构与四元数结构在不引入非局域性的前提下产生观测相关性。