[论文解读] Symmetric Groups and Expander Graphs

Martin Kassabov|ArXiv.org|May 28, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文构建了对称群与交错群的显式、一致有界的生成集，使得其凯莱图对所有 n 构成一族有界度的弥散图。通过表示理论中的技术，特别是卡兹曼常数与相对性质 T，作者证明了统一的谱间隙，解决了对称群中弥散图长期存在的开放问题，并首次给出了不依赖于具有性质 T 的无限群的此类构造。

ABSTRACT

We construct explicit generating sets S_n and ilde S_n of the for the alternating and the symmetric groups, which turn the Cayley graphs C(Alt(n), S_n) and C(Sym(n), ilde S_n) into a family of bounded degree expanders for all n. This answers affirmatively an old question which has been asked many times in the literature. These expanders have many applications in the theory of random walks on groups, card shuffling and other areas.

研究动机与目标

• 解决对称群与交错群的凯莱图是否能构成一族有界度弥散图的长期开放问题。
• 为 Alt(n) 与 Sym(n) 显式构造一致有界的生成集，使得其凯莱图对所有 n 均为弥散图。
• 提供一种不依赖于具有卡兹曼常数性质 T 的无限群的弥散图新构造，从而扩展弥散图族的理论框架。
• 支持卢博茨基猜想——即所有非交换有限单群均存在有界生成集，使得其凯莱图为弥散图。

提出的方法

• 利用统一谱间隙与一致有界卡兹曼常数之间的等价性，建立弥散性。
• 应用小群的有界生成性与相对卡兹曼常数，推导对称群卡兹曼常数的下界。
• 运用特征上界与对称群上随机游走的混合时间估计，控制谱间隙。
• 通过矩阵群（特别是 SL₃ₛ(𝔽₂)）在向量空间上的作用，利用乘积构造生成集，以生成大的交错群。
• 通过群 Δ(H) 的类似 zig-zag 乘积构造，从交错群的乘积构建弥散图。
• 利用无限多个 Δ(SL₃ₛ(𝔽₂)) 的逆极限构造，证明存在具有性质 τ 的可 dense 子群，从而暗示统一弥散性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用一致有界的生成集，使对称群与交错群的凯莱图构成一族有界度弥散图？
• RQ2 是否可能在不依赖具有卡兹曼常数性质 T 的无限群的前提下构造此类弥散图？
• RQ3 随着 n 增大，对称群的卡兹曼常数在合适的生成集下是否保持一致有界？
• RQ4 卢博茨基猜想——即所有非交换有限单群均存在有界生成集使得其凯莱图为弥散图——是否可在交错群上得到验证？
• RQ5 相对性质 T 与有界生成性在对称群中建立统一谱间隙的过程中起什么作用？

主要发现

• 本文为 Alt(n) 与 Sym(n) 显式构造了生成集 Sₙ 与 Šₙ，使得对应的凯莱图为 ε-弥散图，且对所有 n 具有一致有界的度。
• 这些生成集的卡兹曼常数一致有下界，下界为一正的普遍常数 ε > 0，确保了统一的谱弥散性。
• 该构造避免了对具有性质 T 的无限群的依赖，提供了一类全新的、独立的弥散图族来源。
• 该方法在无限多个交错群的乘积中构造出一个稠密子群，该子群不映满 ℤ，且具有性质 τ，这是在 p-进群理论中的新结果。
• 当 d = 4 或 d = 5 时，Alt(N) 上 d 元组生成元的随机游走可在对数时间内混合，意味着洗牌过程及相关过程具有快速混合性。
• 该构造可推广至其他李型有限单群族，支持了关于所有非交换有限单群中统一弥散性的卢博茨基猜想。