[论文解读] Symmetries and gauge symmetries in multisymplectic first and second-order Lagrangian field theories: electromagnetic and gravitational fields

Jordi Gaset, Narciso Román‐Roy|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文对一阶与二阶多辛拉格朗日场论中的对称性与规范对称性进行了几何分析，利用诺特定理推导出守恒量。该框架被应用于电磁学与广义相对论（爱因斯坦-希尔伯特与爱因斯坦-巴特林模型），通过规范对称性的竖直向量场在预多辛形式的核中的作用，阐明了其几何角色，并为场论中的规范约化奠定了基础。

ABSTRACT

Symmetries and, in particular, Cartan (Noether) symmetries and conserved quantities (conservation laws) are studied for the multisymplectic formulation of first and second order Lagrangian classical field theories. Noether-type theorems are stated in this geometric framework. The concept of gauge symmetry and its geometrical meaning are also discussed in this formulation. The results are applied to study Noether and gauge symmetries for the multisymplectic description of the electromagnetic and the gravitational theory; in particular, the Einstein--Hilbert and the Einstein--Palatini approaches.

研究动机与目标

• 为一阶与二阶多辛拉格朗日场论中的对称性与守恒律提供严谨的几何表征。
• 阐明规范对称性的几何意义，特别是其无穷小生成元作为预多辛形式核中竖直向量场的角色。
• 将该形式化方法应用于基本经典场论：电磁学与广义相对论（爱因斯坦-希尔伯特与爱因斯坦-帕拉廷尼作用量）。
• 在多辛设定下建立规范等价性与规范约化的系统性框架。
• 将预辛力学中的洞见推广至具有奇异拉格朗日量的高阶场论系统。

提出的方法

• 基于高阶喷射丛与多辛几何的形式化方法，用于描述一阶或二阶拉格朗日量的场论。
• 利用由向量场的拉回作用下多辛形式不变性定义的卡坦（诺特）对称性。
• 通过多辛框架中的诺特定理推导守恒流，其表达为满足特定闭合性与守恒条件的(n−1)-形式。
• 通过位于预多辛庞加莱-卡坦形式核中的竖直向量场识别规范对称性，该形式与奇异拉格朗日量相关。
• 将该形式化方法应用于电磁场拉格朗日量，以及广义相对论中的希尔伯特-爱因斯坦与爱因斯坦-帕拉廷尼作用量。
• 利用喷射提升与卡坦形式分析一阶与二阶理论中的场方程与对称性生成的流。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多辛一阶与二阶场论中，诺特对称性及其关联守恒律如何从几何角度表征？
• RQ2 在奇异拉格朗日量与预多辛形式的背景下，规范对称性的精确几何角色是什么？
• RQ3 广义相对论的希尔伯特-爱因斯坦与帕拉廷尼形式在多辛框架中如何体现诺特与规范对称性？
• RQ4 在多辛场论中，规范等价解与庞加莱-卡坦形式的核之间存在何种关系？
• RQ5 能否从机械预辛系统中规范对称性的几何结构，系统性地推广至场论多辛系统？

主要发现

• 在多辛框架中，诺特对称性由喷射提升的向量场对多辛形式的拉回不变性表征，由此导出的守恒流为(n−1)-形式。
• 对于电磁场，规范对称性在几何上体现为预多辛形式核中的竖直向量场，与标准的U(1)规范自由度一致。
• 在希尔伯特-爱因斯坦作用量（二阶）中，规范对称性对应于其喷射提升属于庞加莱-卡坦形式核的向量场所生成的微分同胚。
• 在爱因斯坦-帕拉廷尼模型（一阶）中，规范对称性同样由核中的竖直向量场表征，反映了度量与联络变量的独立性。
• 与对称性向量场Y相关的守恒流由ξ_Y = i(j¹Y)Θ_L给出，其在物理壳上退化为闭形式，从而导出守恒律。
• 本文确立了规范等价解由这些核向量场生成的变换关联，且可通过商掉规范群作用系统地实现规范约化。