[论文解读] Symmetry and colorings: some results and open problems, II

Тарас Банах|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文使用拉姆齐理论方法研究了几何与代数结构中的对称性与着色问题，重点关注对称度量空间 $\mathbf{X} = (X,\mu,\mathcal{S})$ 的最大对称数 $\mathsf{ms}_r(\mathbf{X})$ 与中心极数 $\mathsf{c}_r^\lambda(\mathbf{X})$。主要结果包括对双曲空间中 $\mathsf{Bc}_r^0(\mathbb{H}^n)$ 的界限估计，以及对阿贝尔群的维数对称数 $\mathsf{mds}_r(G)$ 的刻画，同时提出了关于自由群中中心极数的开放问题。

ABSTRACT

We survey some principal results and open problems related to colorings of geometric and algebraic objects endowed with symmetries, concentrating the exposition on the maximal symmetry numbers of such objects.

研究动机与目标

• 综述群作用下几何与代数对象对称性与着色的主要结果及开放问题。
• 引入并分析对称度量空间 $\mathbf{X} = (X,\mu,\mathcal{S})$ 的最大对称数 $\mathsf{ms}_r(\mathbf{X})$。
• 研究赋予渐近维数与中心对称性的群的维数对称数 $\mathsf{mds}_r(G)$ 与中心极数 $\mathsf{c}_r^\lambda(G)$。
• 识别并提出关于中心极数的有限性与精确值的开放问题，特别是针对非阿贝尔群如 $F_2$。

提出的方法

• 定义对称度量空间 $\mathbf{X} = (X,\mu,\mathcal{S})$，其中 $\mu$ 为测度，$\mathcal{S}$ 为保持测度的双射族（可容许对称）。
• 运用拉姆齐理论原理，分析在 $X$ 的 $r$-着色下，单色对称子集的性质。
• 将最大对称数 $\mathsf{ms}_r(\mathbf{X})$ 定义为在任意可测 $r$-着色中，保证存在的对称子集的测度上确界。
• 利用渐近维数 $\mathrm{asdim}$ 作为群上的非加性测度，定义 $\mathsf{mds}_r(G)$ 与 $\mathsf{c}_r^\lambda(G)$。
• 利用集合论不变量 $\mathrm{non}(\mathcal{M})$ 来界定双曲空间中的中心极数。
• 借助渐近维数与群结构的已知定理，推导出 $\mathsf{mds}_r(G) \geq 0$ 的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由群 $F_2$ 的中心极数 $\mathsf{c}_2^0(F_2)$ 的值是多少？
• RQ2 对于所有 $r \in \mathbb{N}$，中心极数 $\mathsf{c}_r^0(F_2)$ 是否有限？
• RQ3 对于哪些无限阿贝尔群 $G$，维数对称数 $\mathsf{mds}_r(G) \geq 0$ 成立？
• RQ4 当 $r > 2$ 且 $n \geq 2$ 时，$\mathsf{Bc}_r^0(\mathbb{H}^n)$ 的精确值是多少？
• RQ5 当 $r > 2$ 时，双曲平面 $\mathbb{H}^2$ 的中心极数 $\mathsf{c}_r^\lambda(\mathbb{H}^2)$ 如何变化？

主要发现

• 对于任意 $\lambda \in \{0,1,2\}$，有 $\mathsf{c}_1^\lambda(\mathbb{H}^2) = 1$ 且 $\mathsf{c}_2^\lambda(\mathbb{H}^2) = 3$。
• 当 $r, n \geq 2$ 时，中心极数 $\mathsf{Bc}_r^0(\mathbb{H}^n)$ 满足 $3 \leq \mathsf{Bc}_r^0(\mathbb{H}^n) \leq \mathrm{non}(\mathcal{M})$，其中 $\mathrm{non}(\mathcal{M})$ 是 $\mathbb{R}$ 中非残渣集的最小基数。
• 对于无限阿贝尔群 $G$，若 $r \leq r_0(G)$ 且 $G$ 是有限生成的，或若 $r \leq r_0(G)+1$ 且 $G$ 是可数、无限生成且 2-秩有限的，则 $\mathsf{mds}_r(G) \geq 0$。
• 若 $G$ 不可数或具有无限 2-秩 $r_2(G)$，则当 $r \leq \max\{\log|G|, r_2(G)\}$ 时，有 $\mathsf{mds}_r(G) \geq 0$。
• 基于文献 [29] 中定理 1 的证明，自由群 $F_2$ 的中心极数 $c_2^0(F_2)$ 至多为 4。
• 目前尚不清楚 $c_2^0(F_2)$ 是否等于 2、3 或 4。