[论文解读] Symmetry breaking in de Sitter: a stochastic effective theory approach

Gianrocco Lazzari, Tomislav Prokopec|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2013

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 65被引用 7

一句话总结

本文应用随机有效场论研究 de Sitter 空间中 O(N) 对称性规范的对称性自发破缺。利用 Starobinsky 的随机膨胀形式，证明了深红外模式无法形成凝聚态，导致有效势为凸函数，从而禁止相变发生；数值结果表明耦合常数呈软依赖性，且对背景几何产生正向反作用。

ABSTRACT

We consider phase transitions on (eternal) de Sitter in an O(N) symmetric scalar field theory. Making use of Starobinsky's stochastic inflation we prove that deep infrared scalar modes cannot form a condensate -- and hence they see an effective potential that allows no phase transition. We show that by proving convexity of the effective potential that governs deep infrared field fluctuations both at the origin as well as at arbitrary values of the field. Next, we present numerical plots of the scalar field probability distribution function (PDF) and the corresponding effective potential for several values of the coupling constant at the asymptotic future timelike infinity of de Sitter. For small field values the effective potential has an approximately quadratic form, corresponding to a positive mass term, such that the corresponding PDF is approximately Gaussian. However, the curvature of the effective potential shows qualitatively different (typically much softer) behavior on the coupling constant than that implied by the Starobinsky-Yokoyama procedure. For large field values, the effective potential as expected reduces to the tree level potential plus a positive correction that only weakly (logarithmically) depends on the background field. Finally, we calculate the backreaction of fluctuations on the background geometry and show that it is positive.

研究动机与目标

• 解决微扰方法与平均场方法在 de Sitter 空间中预测 O(N) 对称性破缺时的不一致性。
• 基于随机膨胀，发展 de Sitter 空间中红外标量涨落的非微扰有效场论。
• 确定深红外模式是否能形成凝聚态并因此触发自发对称性破缺。
• 计算 de Sitter 空间中晚期时刻标量场的有效势和概率幅分布函数（PDF）。
• 评估量子涨落在背景 de Sitter 几何上的反作用。

提出的方法

• 利用 Starobinsky 的随机膨胀形式，将量子红外动力学映射为标量场 PDF 的经典 Fokker-Planck 方程。
• 推导出 Fokker-Planck 方程：∂ₜρ = (1/(3H)) ∂ₚ(V′ρ) + (H³/(8π²)) ∂ₚ²ρ，用于描述场 PDF 的时间演化。
• 证明在原点和任意场值处，有效势均为凸函数，从而确保无自发对称性破缺。
• 采用大 N 和大 j 近似方法计算配分函数 Z(j)，利用合流超几何函数的渐近展开。
• 对模式求和应用鞍点近似，将其替换为积分以计算大场极限下的有效势。
• 利用贝塞尔函数和伽马函数恒等式，推导出大场区域下的渐近有效势。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 de Sitter 空间中，O(N) 对称的标量理论的深红外标量模式能否形成凝聚态，从而破坏 O(N) 对称性？
• RQ2 控制红外涨落的有效势是否保持凸性，从而禁止相变发生？
• RQ3 有效势的曲率如何依赖于耦合常数？其依赖关系是否与 Starobinsky-Yokoyama 方法的预测不同？
• RQ4 de Sitter 空间中晚期时刻标量场的 PDF 形状如何？其随耦合强度如何演化？
• RQ5 量子涨落在 de Sitter 背景几何上的反作用是什么？

主要发现

• 有效势在原点和任意场值处均为严格凸函数，证明无法形成凝聚态，因此不会发生相变。
• 在小场值区域，有效势近似为具有正质量项的二次函数，导致 PDF 呈高斯型。
• 有效势的曲率对耦合常数的依赖关系在定性上比 Starobinsky-Yokoyama 方法的预测更为平缓。
• 在大场值区域，有效势渐近趋近于树图阶势加上一个弱依赖于背景场的对数修正项。
• 量子涨落在背景几何上的反作用为正值，表明存在经典能量密度贡献。
• 在大场极限下，有效势的渐近表达式为 V_eff(φ_b) ≈ (3H⁴/8π²)[ζ(φ_b⁴ - 2φ_b² + 1/2) + (1/2)ln(3πζφ_b²/2) + ln(I_{1/4}(ζ/2) + I_{-1/4}(ζ/2))], 该式在 φ_b ≫ 1 时成立。