[论文解读] Symmetry enhancement in RCFT

Ken Kikuchi|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 56被引用 15

一句话总结

本文提出了一种在无质量重整化群（RG）流下，对二维有理共形场论（RCFTs）中对称性增强的判据：当幸存的拓扑缺陷线（TDLs）构成一个非模化的辫状融合范畴（BFC），或当得到的模 tensor 范畴（MTC）的中心 charge 无法小于紫外（UV）理论时，对称性增强发生。该机制由 c-定理与模性的一致性驱动，通过对幺正极小模型的显式检验表明，若红外（IR）理论违反这些约束，则对称性增强是必要的。

ABSTRACT

We propose when and why symmetry enhancements happen in massless renormalization group (RG) flows to two-dimensional rational conformal field theories (RCFTs). We test our proposal against known RG flows from unitary minimal models. We also suggest which sign of the relevant coupling triggers the massless RG flow. The other sign triggers massive RG flows to topological quantum field theories (TQFTs). We comment on their ground state degeneracies.

研究动机与目标

• 理解在无质量 RG 流至二维有理共形场论（RCFTs）时，全局对称性——特别是范畴对称性——在何种条件下与原因下发生增强。
• 基于幸存的拓扑缺陷线（TDLs）范畴的模性与 c-定理一致性，提出一个系统性的对称性增强判据。
• 在已知的幺正极小模型 RG 流上检验该提案，特别是三临界与四临界伊辛模型。
• 阐明相关耦合符号在决定流是否为无质量（至 RCFT）或有质量（至 TQFT）中的作用，并在此背景下分析基态简并度。

提出的方法

• 本文利用 c-定理约束红外（IR）理论的中心 charge，要求其小于紫外（UV）理论的值。
• 分析相关变形后幸存的拓扑缺陷线（TDLs）的融合范畴，检查其是否构成模 tensor 范畴（MTC）。
• 若幸存的 BFC 非模化，或无法产生小于 UV 理论中心 charge 的 MTC，则该理论必须增强为更大的 MTC，以同时满足模性与 c-定理。
• 该方法适用于具有手征代数 $φ$ 的 RCFT，使用表示范畴 $Ø(φ)$，该范畴在 IR 理论中必须是模化的。
• 分析应用于幺正极小模型 $M(m+1,m)$，重点研究对 $φ_{1,3}$ 场的形变。
• 采用卡迪方法计算基态能量与简并度，耦合符号决定基态扇区。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无质量 RG 流至二维 RCFTs 时，对称性增强在何种条件下发生？
• RQ2 为何当幸存的 BFC 非模化或与 c-定理不一致时，某些 TDL 会在红外（IR）出现？
• RQ3 相关耦合的符号如何决定流是至无质量 RCFT 还是有质量 TQFT？
• RQ4 决定红外（IR）基态简并度的因素是什么，其与范畴对称性表示的关系如何？
• RQ5 最小的 TDL 范畴增强是否可由模性与 c-定理的一致性唯一确定？

主要发现

• 当幸存的 TDL 构成非模化的辫状融合范畴（BFC）时，必须发生对称性增强，如四临界伊辛模型所示：秩为 4 的 BFC 无法在不增加至少两个新 TDL 的情况下成为模化。
• 唯一包含四临界伊辛模型中秩 4 BFC 的秩 6 MTC 与已知的无质量 RG 流至三临界伊辛模型一致，支持本提案。
• 对于三临界伊辛模型，幸存的 TDL 构成一个秩 3 的 MTC，其为模化且中心 charge 低于 UV 理论，因此无需对称性增强，与已知流至临界伊辛模型的结果一致。
• 耦合 $λ_{1,3}$ 的符号决定红外基态：$λ_{1,3}<0$ 导致简并基态 $|(1,1)\rangle, |(2,1)\rangle, |(3,1)\rangle$，而 $λ_{1,3}>0$ 导致 $|(2,2)\rangle, |(3,2)\rangle, |(3,3)\rangle$，简并度与 $(m-1)/2$ 一致（当 $m$ 为偶数时）。
• 在四临界伊辛模型中，无卡迪态在幸存的 TDL 下不变，表明基态简并度源于自发的范畴对称性破缺，而非不变性。
• 在二维状态空间上的 TQFT 实现是‘过度约束’的，因为秩为 4 的 BFC 仅作用于两个状态，表明表示的维度可小于范畴的秩。