[论文解读] Symmetry in Extended Formulations of the Permutahedron

Kanstantsin Pashkovich|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 1被引用 10

一句话总结

本文建立了对称扩展形式的排列多面体 Π_n 的大小的 fundamental 下界 Ω(n²)。证明表明，任何对称扩展都无法实现次二次方大小，这与 Goemans 的非对称形式（大小为 Θ(n log n)）形成对比，确认了在排列多面体的多面体提升中，对称性施加了显著的复杂性障碍。

ABSTRACT

It is well known that the permutahedron Pi_n has 2^n-2 facets. The Birkhoff polytope provides a symmetric extended formulation of Pi_n of size Theta(n^2). Recently, Goemans described a non-symmetric extended formulation of Pi_n of size Theta(n log(n)). In this paper, we prove that Omega(n^2) is a lower bound for the size of symmetric extended formulations of Pi_n.

研究动机与目标

• 确定排列多面体 Π_n 的对称扩展形式所需的最小大小。
• 为排列多面体的对称提升技术的效率建立理论极限。
• 将对称形式与 Goemans 的大小为 Θ(n log n) 的非对称形式进行对比。
• 阐明在多面体扩展中强制对称性所带来的固有复杂性成本。

提出的方法

• 作者通过利用对称群在排列多面体上的群论性质，分析对称扩展形式的结构。
• 他们采用表示理论来研究对称群 S_n 作用下的不变子空间。
• 该证明依赖于刻画与扩展形式的松弛矩阵相关联的某些对称矩阵的秩。
• 使用对偶性论证，将对称形式的大小与矩阵空间中不变子空间的维数联系起来。
• 该分析基于关于 Birkhoff 多面体在提供大小为 Θ(n²) 的对称扩展中所起作用的已知结果。
• 通过证明任何对称形式都必须至少具有 Ω(n²) 个面（这是由于底层线性表示的对称性约束），推导出下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 排列多面体 Π_n 的对称扩展形式的最小可能大小是多少？
• RQ2 对称扩展形式能否实现次二次方大小，还是 Ω(n²) 是不可避免的？
• RQ3 对称性约束如何影响多面体提升的效率，与非对称形式相比如何？
• RQ4 为什么 Birkhoff 多面体的对称形式呈二次方扩展，这在对称性下是否最优？
• RQ5 在扩展复杂性方面，对称与非对称形式之间是否存在理论上的差距？

主要发现

• 本文建立了对排列多面体 Π_n 的任何对称扩展形式的大小下界为 Ω(n²)。
• 该下界与 Birkhoff 多面体的对称形式大小一致，表明在所有对称扩展中该结果渐近最优。
• 该结果表明，对称性本质上限制了排列多面体扩展形式的效率。
• 该下界通过表示理论和不变子空间分析证明，表明对称形式无法像 Goemans 的非对称构造那样利用对数效率。
• 该结果意味着，无论采用何种构造方法，任何对称形式都必须具有至少二次方大小。
• 本文通过证明对称形式无法实现非对称形式的 Θ(n log n) 大小（即使在渐近意义上），填补了理解上的空白。