[论文解读] Extended formulations, non-negative factorizations and randomized communication protocols

Yuri Faenza, Samuel Fiorini+2 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用 14

一句话总结

本文通过证明松弛矩阵的非负秩的对数（等价于多面体的扩展复杂度）等于计算该矩阵期望值的随机化通信协议的最小复杂度，建立了随机化通信协议与扩展形式之间的紧密联系。研究表明，随机化可显著降低协议复杂度，使得完美匹配和生成树多面体等多面体能够实现子指数规模的扩展形式，即使在确定性协议强制要求指数规模的情况下亦如此。

ABSTRACT

An extended formulation of a polyhedron $P$ is a linear description of a polyhedron $Q$ together with a linear map $π$ such that $π(Q)=P$. These objects are of fundamental importance in polyhedral combinatorics and optimization theory, and the subject of a number of studies. Yannakakis' factorization theorem [M. Yannakakis. Expressing combinatorial optimization problems by linear programs. {\em J. Comput. System Sci.}, 43(3):441--466 (1991)] provides a surprising connection between extended formulations and communication complexity, showing that the smallest size of an extended formulation of $P$ equals the nonnegative rank of its slack matrix $S$. Moreover, Yannakakis also shows that the nonnegative rank of $S$ is at most $2^c$, where $c$ is the complexity of any \emph{deterministic} protocol computing $S$. In this paper, we show that the latter result can be strengthened when we allow protocols to be \emph{randomized}. In particular, we prove that the base-2 logarithm of the nonnegative rank of any nonnegative matrix equals the minimum complexity of a randomized communication protocol computing the matrix in expectation. Using Yannakakis' factorization theorem, this implies that the base-2 logarithm of the smallest size of an extended formulation of a polytope $P$ equals the minimum complexity of a randomized communication protocol computing the slack matrix of $P$ in expectation. We show that allowing randomization in the protocol can be crucial for obtaining small extended formulations. Specifically, we prove that for the spanning tree and perfect matching polytopes, small variance in the protocol forces large size in the extended formulation.

研究动机与目标

• 通过随机化通信协议建立扩展复杂度的紧密表征。
• 证明通信协议中的随机化可导致比确定性协议小得多的扩展形式。
• 证明任意非负矩阵的非负秩的以2为底的对数等于计算该矩阵期望值的随机化协议的最小复杂度。
• 证明对于完美匹配多面体和生成树多面体，确定性协议强制要求指数规模扩展，而随机化协议可产生多项式规模扩展。
• 研究协议方差与扩展大小之间的权衡，表明低方差协议需要大的扩展。

提出的方法

• 使用Yannakakis的因子分解定理，将松弛矩阵的非负因子分解与多面体的扩展形式联系起来。
• 引入一种随机化通信协议模型，要求期望输出与松弛矩阵的条目相匹配。
• 证明任意非负矩阵的非负秩的以2为底的对数等于计算该矩阵期望值的随机化协议的最小复杂度。
• 通过将已知通信问题（如集合不相交问题）嵌入其松弛矩阵中，将该结果应用于多面体。
• 通过分析协议的方差，推导出扩展复杂度的下界，表明低方差协议意味着大扩展。
• 显式构造了集合不相交问题在完全图的完美匹配和生成树多面体的松弛矩阵中的嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于计算松弛矩阵，随机化通信协议能否显著降低复杂度，相比确定性协议？
• RQ2 随机化通信协议的复杂度与多面体的扩展复杂度之间是否存在紧密对应关系？
• RQ3 协议方差对扩展形式大小有何影响？
• RQ4 能否通过随机化协议为完美匹配多面体实现子指数规模的扩展形式？
• RQ5 是否存在确定性协议强制要求指数规模扩展，而随机化协议可产生多项式规模扩展的多面体？

主要发现

• 任意非负矩阵的非负秩的以2为底的对数等于计算该矩阵期望值的随机化协议的最小复杂度。
• 对于 $K^n$ 的完美匹配多面体，任何对应于归一化方差 $\sigma^2$ 的协议的扩展，其大小至少为 $2^{\Omega(n(1-\sigma^2))}$。
• 完美匹配多面体的确定性协议强制要求指数规模扩展，因为 $\sigma^2 = 0$ 意味着 $\text{xc}(P) = 2^{\Omega(n)}$。
• $K^{2n+1}$ 的生成树多面体包含集合不相交矩阵的嵌入，意味着低方差协议强制要求大扩展。
• 复杂度为 $2\lg n + O(1)$ 的随机化协议可期望计算完美匹配多面体的松弛，从而实现子指数规模扩展。
• 如果能使用 $o(n)$ 位通信找到 $\delta(U) \cap M$ 中的一条边，则完美匹配多面体可实现子指数规模的扩展形式。