[论文解读] Symmetry protected topological phases from decorated domain walls

Xie Chen, Yuan-Ming Lu+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Mar 18, 2013

Topological Materials and Phenomena被引用 22

一句话总结

本文通过在低维SPT态上装饰增殖的Z₂畴壁，提出了在1D、2D和3D中实现对称保护拓扑（SPT）相的物理构造。研究表明，当Z₂畴壁——本身处于非平庸SPT相——发生凝聚时，会实现更高维度的SPT序，提供了直观的波函数，并与群上同调及场论相联系。该构造解释了边缘模式及规范理论中的项目化对称性表示。

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases with unusual edge excitations can emerge in strongly interacting bosonic systems and are classified in terms of the cohomology of their symmetry groups. Here we provide a physical picture that leads to an intuitive understanding and wavefunctions for several SPT phases in d=1,2,3 dimensions. We consider symmetries which include a Z_2 subgroup, that allows us to define domain walls. While the usual disordered phase is obtained by proliferating domain walls, we show that SPT phases are realized when these proliferated domain walls are `decorated', i.e. are themselves SPT phases in one lower dimension. For example a d=2 SPT phase with Z_2 and time reversal symmetry is realized when the domain walls that proliferate are themselves in a d=1 Haldane/AKLT state. Similarly, d=3 SPT phases with Z_2 * Z_2 symmetry emerges when domain walls in a d=2 SPT with Z_2 symmetry are proliferated. The resulting ground states are shown to be equivalent to that obtained from group cohomology and field theoretical techniques. The result of gauging the Z_2 symmetry in these phases is also discussed. An extension of this construction where time reversal plays the role of Z_2 symmetry allows for a discussion of several d=3 SPT phases. This construction also leads to a new perspective on some well known d=1 SPT phases, from which exactly soluble parent Hamiltonians may be derived.

研究动机与目标

• 为超越抽象上同调分类的相互作用玻色系统中的对称保护拓扑（SPT）相提供一种物理的、直观的图像。
• 解释当Z₂畴壁——本身为低维SPT态——在体相中增殖时，SPT序如何涌现。
• 将装饰畴壁构造与群上同调和陈-西蒙斯场论等既有的理论框架相联系。
• 从该构造推导出已知SPT相的精确可解哈密顿量。
• 分析规范化Z₂对称性后对畴壁激发产生的项目化对称性的影响。

提出的方法

• 该构造利用Z₂畴壁作为具有Z₂ × G对称性的系统中的拓扑缺陷，其中G是低维SPT态的对称群。
• 假设在拓扑 trivial 相中畴壁会增殖（凝聚），但在SPT相中，这些畴壁会被‘装饰’上一维更低的非平庸SPT态。
• 例如，当1D Z₂畴壁被Haldane/AKLT链（一种1D SPT态）装饰时，会形成具有Z₂ × Z₂^T对称性的2D SPT相。
• 该方法通过马约拉纳和Z₂规范自由度将系统映射到对偶自旋模型，从而实现精确可解性并支持边缘态分析。
• 通过对偶变量推导出低能边缘理论，得到具有特定Z₂和时间反演对称变换规则的手征Luttinger液体。
• 通过证明边缘模式在时间反演下变换为项目化表示，验证了该构造的有效性，与SPT相中预期的项目化表示一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过畴壁装饰，从低维SPT态在d维中物理构造SPT相？
• RQ2 Z₂畴壁增殖在强关联玻色系统中实现非平庸SPT序中起什么作用？
• RQ3 装饰畴壁构造中的边缘模式如何实现对称群的项目化表示？
• RQ4 此类装饰SPT相中边缘态的低能有效场论是什么？
• RQ5 规范化Z₂对称性如何影响畴壁的拓扑性质及其量子数？

主要发现

• 装饰畴壁构造重现了与群上同调相同的分类，证实其在SPT相分类中的有效性。
• 当Z₂畴壁在边界处被切开时，其端点会宿主低维SPT态的无能隙边缘模式，解释了边缘模式的拓扑保护机制。
• 2D Z₂ × Z₂^T SPT相的低能边缘理论是手征Luttinger液体，其对称变换规则为：Z₂对φ₁实现符号翻转，时间反演对φ₁和φ₂实现平移。
• 畴壁算符在时间反演下变换为D(x) → -i D†(x)，表明畴壁携带项目化时间反演量子数，与边缘态的项目化表示一致。
• 该构造通过映射到具有Z₂规范和马约拉纳自由度的对偶自旋模型，为已知SPT相（如1D Haldane链和2D Z₂ × Z₂^T SPT相）提供了精确可解哈密顿量。
• 从对偶模型导出的有效场论与SPT相的K-矩阵陈-西蒙斯理论一致，证实了其与拓扑场论方法的一致性。