[论文解读] Symplectic homology of convex domains and Clarke's duality

Alberto Abbondandolo, Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用 6

一句话总结

该论文建立了 $ \mathbb{R}^{2n}$ 上凸哈密顿量的弗洛尔复形与其实对偶作用泛函的莫尔斯复形之间的同构关系，同时保持作用滤子结构。关键结果表明，具有光滑边界之凸区域的辛同调计算了其边界上闭特征的最小作用量，从而将辛拓扑与哈密顿系统中的克拉克对偶联系起来。

ABSTRACT

We prove that the Floer complex that is associated with a convex Hamiltonian function on $\mathbb{R}^{2n}$ is isomorphic to the Morse complex of Clarke's dual action functional that is associated with the Fenchel-dual Hamiltonian. This isomorphism preserves the action filtrations. As a corollary, we obtain that the symplectic capacity from the symplectic homology of a convex domain with smooth boundary coincides with the minimal action of closed characteristics on its boundary.

研究动机与目标

• 通过凸哈密顿量的克拉克对偶，建立辛弗洛尔同调与莫尔斯理论之间的深层结构联系。
• 证明凸的、非退化的、二次凸的哈密顿量的弗洛尔复形与其实对偶的弗洛尔双函数的莫尔斯复形同构。
• 证明凸区域的辛容量（由其辛同调导出）等于其边界上闭特征的最小作用量。
• 通过有限维约化与混合流构造，克服在构造对偶泛函 $\Psi_{H^*}$ 的良好定义的莫尔斯复形时遇到的分析难题。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}^{2n}$ 上构造一个时间周期的强凸哈密顿量 $H$，其具有非退化的1-周期轨道，并在无穷远处表现出非共振行为。
• 通过 $H$ 的勒让德变换定义对偶泛函 $\Psi_{H^*}$，其为凸的、超线性泛函，且具有有限莫尔斯指标的临界点。
• 在乘积空间 $C^\infty_0(\mathbb{T}, \mathbb{R}^{2n}) \times C^\infty_0(\mathbb{T}, \mathbb{R}^{2n}) \times \mathbb{R}^{2n}$ 上引入一个扩展泛函 $\widetilde{\Psi}_{H^*}$，以稳定动力系统并实现有限维约化。
• 在扩展空间上构造一个向量场 $X_{\widetilde{\Psi}_{H^*}}$，其稳定与不稳定流形与原始对偶泛函 $\Psi_{H^*}$ 的流形相对应，从而实现莫尔斯复形的构造。
• 在扩展泛函 $\widetilde{\Phi}_H$ 与 $\widetilde{\Psi}_{H^*}$ 之间定义一个微分同胚 $\Gamma$，表明二者在变量变换下等价。
• 通过 $X_{\widetilde{\Phi}_H}$ 的不稳定流形与 $X_{\widetilde{\Psi}_{H^*}}$ 的稳定流形在 $\Gamma$ 下的像的交集，定义一个链映射 $\Theta$，从而证明弗洛尔复形与莫尔斯复形之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在凸哈密顿量的弗洛尔复形与其实对偶的弗洛尔双函数之间的典范同构？
• RQ2 能否通过边界上闭特征的最小作用量来计算凸区域的辛同调？
• RQ3 哈密顿系统中的克拉克对偶如何与作用泛函的无限维莫尔斯理论相关联？
• RQ4 能否通过有限维约化与混合流构造克服在定义对偶泛函的莫尔斯复形时遇到的分析困难？

主要发现

• 与凸的、非退化的、二次凸的哈密顿量 $H$ 相关的弗洛尔复形 $F_*(H)$ 与其实对偶 $\Psi_{H^*}$ 的莫尔斯复形同构，且保持作用滤子结构。
• 同构 $\Theta$ 通过涉及在半柱面上满足混合边界条件的弗洛尔方程解的混合问题构造而成。
• 由凸区域（具有光滑边界）的辛同调导出的辛容量等于其边界上闭特征的最小作用量。
• 对偶泛函 $\Psi_{H^*}$ 具有有限莫尔斯指标的临界点，从而可实现有限维莫尔斯理论，且该理论与 $\Phi_H$ 的无限维弗洛尔理论同构。
• 扩展泛函 $\widetilde{\Phi}_H$ 与 $\widetilde{\Psi}_{H^*}$ 通过微分同胚 $\Gamma$ 相关联，确保其莫尔斯复形同构。