[论文解读] Symplectic level-rank duality via tensor categories

Victor Ostrik, Eric C. Rowell+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文建立了在单位根处的C型量子群所导出的有 braided fusion categories 的辛水平-秩对偶性，证明了类别 ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2n})_{k}$ 与反向类别 ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2k})_{n}^{-}$ 之间存在辫子反转的等价关系。该结果通过两种方法证明：共形嵌入与有 braided fusion categories 的分类，推广至奇单位根处的非幺正情形。

ABSTRACT

We give two proofs of a level-rank duality for braided fusion categories obtained from quantum groups of type $C$ at roots of unity. The first proof uses conformal embeddings, while the second uses a classification of braided fusion categories associated with quantum groups of type $C$ at roots of unity. In addition we give a similar result for non-unitary braided fusion categories quantum groups of types $B$ and $C$ at odd roots of unity.

研究动机与目标

• 建立在单位根处与C型量子群相关的 braided fusion categories 的水平-秩对偶性。
• 提供两种不同的对偶性证明：一种基于共形嵌入，另一种基于 braided fusion categories 的分类。
• 将对偶性推广至奇整数水平时的非幺正 braided fusion categories（B型与C型）。
• 通过 braided monoidal 等价关系阐明有限与仿射李代数表示之间的关系。
• 利用范畴论与李理论工具，将A型水平-秩对偶性推广至辛情形。

提出的方法

• 利用仿射李代数的共形嵌入：$(\widehat{\mathfrak{sp}}_{2n})_{k} \oplus (\widehat{\mathfrak{sp}}_{2k})_{n} \subset (\widehat{\mathfrak{so}}_{4nk})_{1}$ 来构造对偶性。
• 通过修改 $\mathbb{Z}/2$-分次范畴的奇分次部分的辫子结构，实现反向 braided fusion category ${\mathcal{C}}^{-}$ 的构造。
• 利用 $\mathcal{C} \boxtimes s\mathrm{Vec}$ 的对角构造，实现 $\mathbb{Z}/2$-分次 braided 结构。
• 使用 $n \times k$ 矩形中的分拆组合数据来参数化不可约表示与权。
• 在辛设定下应用 Kac-Peterson 公式，计算特征标并验证对偶性。
• 利用具有 $C$-型融合规则的 braided fusion categories 的重构技术，证明非幺正情形下的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 braided fusion categories ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2n})_{k}$ 与 ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2k})_{n}^{-}$ 之间的辫子反转张量等价？
• RQ2 是否能通过共形嵌入证明C型量子群在单位根处的水平-秩对偶性？
• RQ3 当水平为奇整数时，对偶性如何推广至非幺正范畴？
• RQ4 在实现对偶范畴的过程中，$\mathbb{Z}/2$-分次结构与 $\mathcal{C}^{-}$ 构造起到何种作用？
• RQ5 是否能通过具有 $C$-型融合规则的 braided fusion categories 的范畴分类建立对偶性？

主要发现

• 存在 ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2n})_{k}$ 与 ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2k})_{n}^{-}$ 之间的辫子反转张量等价，确立了辛水平-秩对偶性。
• 通过对 $\widehat{\mathfrak{so}}_{4nk}$ 在水平1处的共形嵌入，提供了直接的几何构造。
• 第二种证明基于具有 $C$-型融合规则的 braided fusion categories 的分类，依赖于高级范畴工具。
• 对偶性推广至奇水平 $\ell$ 的非幺正范畴，其中 ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2n},\ell)$ 且 $\ell = 2k + 2n + 1$ 扮演对偶角色。
• 对 $s \in S_{n+k}$ 的权计算 $s\rho - \rho_{\mathfrak{t}}$ 与分拆及其补集 $\lambda^{c}$ 的组合学一致，从表示论层面确认了对偶性。
• 通过与黑白点图的双射，证明了集合 $W_{\mathfrak{t}}^{1}$ 同构于 $I_{n,k}$，将群论与分拆组合学联系起来。