[论文解读] Symplectic, Multisymplectic Structures and Euler-Lagrange Cohomology

Hao Yang Guo, S.K. Wang+2 more|ArXiv.org|Apr 17, 2001

Numerical methods for differential equations参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文建立了一套严格的上同调框架，将欧拉-拉格朗日上同调与经典力学和场论中的辛结构及多重辛结构联系起来。通过引入一个自由参数空间以推广变分导数，证明了辛/多重辛结构保持性质不仅存在于解空间中，也存在于整个函数空间中，当且仅当欧拉-拉格朗日上同调非平凡且闭合，从而将该方法扩展至无已知拉格朗日量的哈密顿型常微分方程和偏微分方程。

ABSTRACT

We study the Euler-Lagrange cohomology and explore the symplectic or multisymplectic geometry and their preserving properties in classical mechanism and classical field theory in Lagrangian and Hamiltonian formalism in each case respectively. By virtue of the Euler-Lagrange cohomology that is nontrivial in the configuration space, we show that the symplectic or multisymplectic geometry and related preserving property can be established not only in the solution space but also in the function space if and only if the relevant closed Euler-Lagrange cohomological condition is satisfied in each case. We also apply the cohomological approach directly to Hamiltonian-like ODEs and Hamiltonian-like PDEs no matter whether there exist known Lagrangian and/or Hamiltonian associated with them.

研究动机与目标

• 在解空间之外，为经典力学和场论中的辛结构与多重辛结构建立严格的几何基础。
• 阐明欧拉-拉格朗日上同调在决定辛/多重辛结构及其守恒定律是否在全函数空间中成立时所起的作用。
• 即使在缺乏已知拉格朗日量或哈密顿量的情况下，也将上同调方法扩展至哈密顿型常微分方程和偏微分方程。
• 通过自由参数形式，统一处理函数空间中变分导数与外微分形式的理论。
• 将上同调框架推广至更广泛的系统类别，包括约束理论和高维场论。

提出的方法

• 引入一族自由参数，以参数化配置空间所有方向上的变分，从而统一处理一阶与二阶变分。
• 通过将变分视为基流形上每一点处关于自由参数空间的微分，将外微分形式应用于函数空间。
• 通过1-形式空间定义欧拉-拉格朗日上同调，区分在欧拉-拉格朗日条件下为零、恰当与闭合的1-形式。
• 将上同调条件（欧拉-拉格朗日1-形式的闭合性）作为函数空间中辛/多重辛结构保持性质的必要且充分条件。
• 将该框架应用于经典力学与场论中的拉格朗日与哈密顿形式，证明在上同调条件下结构保持性质的等价性。
• 通过构造满足上同调准则的人工作用量型、拉格朗日型与哈密顿型泛函，将该方法扩展至哈密顿型常微分方程与偏微分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，经典力学中的辛结构及其守恒定律不仅在解空间中成立，也在全函数空间中成立？
• RQ2 经典场论中的多重辛结构及其保持性质与欧拉-拉格朗日上同调之间有何关系？
• RQ3 该上同调框架能否应用于缺乏已知拉格朗日量或哈密顿量的系统，如哈密顿型常微分方程与偏微分方程？
• RQ4 非平凡的欧拉-拉格朗日上同调在函数空间中实现辛/多重辛结构保持性质的过程中起着何种精确作用？
• RQ5 自由参数形式如何统一处理无限维函数空间中变分导数与外微分形式的理论？

主要发现

• 在经典力学中，辛结构及其保持性质在全函数空间中成立，当且仅当欧拉-拉格朗日上同调非平凡，且相关1-形式闭合。
• 在经典场论中，多重辛结构及其守恒定律从解空间扩展至函数空间，当且仅当满足欧拉-拉格朗日上同调条件。
• 该上同调方法成功推广至无已知拉格朗日量的哈密顿型常微分方程与偏微分方程，通过构造满足上同调准则的人工作用量型泛函。
• 欧拉-拉格朗日上同调与辛/多重辛结构的保持性质是同一问题的两个方面，其中上同调提供了结构保持的必要且充分条件。
• 该框架可通过将上同调条件推广至离散情形，实现对离散方法与有限元方法中辛与多重辛结构保持格式的推导。
• 该方法揭示出：在同调类中仅相差恰当形式的哈密顿型系统，共享相同的辛/多重辛结构与守恒定律。