[论文解读] Symplectic reflection algebras in positive characteristic

Kenneth A. Brown, Kanokporn Changtong|ArXiv.org|Sep 14, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文建立了在代数闭域的正特征下辛反射代数的基础性质，证明其为自身中心的有限模——这与特征零情形不同。对于有理哈里奇尼代数，本文确定其PI-次数为 $ p^n|\Gamma| $，Goldie秩为 $ |\Gamma| $，并证明了中心的Azumaya集与光滑集重合。

ABSTRACT

Basic properties of symplectic reflection algebras over an algebraically closed field k of positive characteristic are laid out. These algebras are always finite modules over their centres, in contrast to the situation in characteristic 0. For the subclass of rational Cherednik algebras, we determine the PI-degree and the Goldie rank, and show that the Azumaya and smooth loci of the centre coincide.

研究动机与目标

• 建立代数闭域正特征下辛反射代数的基本表示论与同调性质。
• 研究代数中心的结构及其与这些代数表示理论的关系，特别是有理哈里奇尼代数的情形。
• 确定正特征下有理哈里奇尼代数的Goldie秩与PI-次数。
• 证明代数的Azumaya集与其中心的光滑集重合，将特征零下的一个关键结果推广至正特征。

提出的方法

• 将特征零下的PBW定理与形变理论适配至正特征，证明辛反射代数保持为素诺特环与Auslander正则环。
• 利用对称幂等元 $ e = \frac{1}{|\Gamma|}\sum_{\gamma \in \Gamma} \gamma $ 定义对称子代数 $ eHe $，并证明其为诺特整环与极大序。
• 在 $ H $ 与 $ eHe $ 之间建立Moriya上下文，并通过Satake同态证明 $ Z(H) \cong Z(eHe) $。
• 将情形特化至有理哈里奇尼代数，其中 $ V = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^* $，且 $ \Gamma $ 作为伪反射群作用。
• 利用对称代数 $ S(\mathfrak{h}) $ 与 $ S(\mathfrak{h}^*) $ 上的弗罗贝尼乌斯映射 $ (-)^p $，构造中心子代数 $ Z_0 = (S(\mathfrak{h})^p)^\Gamma \otimes (S(\mathfrak{h}^*)^p)^\Gamma $。
• 通过在 $ \delta $ 处局部化，其中 $ \delta $ 为与判别式相关的 $ \Gamma $-不变元，分析表示并利用 $ \mathcal{D}(\mathfrak{h}^{\text{reg}}) \ast \Gamma $ 与 $ S(\mathfrak{h}^*)[\delta]^{-1} \ast \Gamma $ 证明维数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，辛反射代数的Goldie维数是否等于 $ |\Gamma| $？
• RQ2 在正特征下，有理哈里奇尼代数的PI-次数是否等于 $ p^n|\Gamma| $？
• RQ3 每个最大维数为 $ p^n|\Gamma| $ 的单模是否都是秩为 $ p^n $ 的正则 $ k\Gamma $-模？
• RQ4 对于哪些参数 $ \mathbf{c} $，中心 $ \mathrm{Maxspec}(Z(H)) $ 是光滑的？
• RQ5 代数 $ H $ 的Azumaya集是否与 $ \mathrm{Maxspec}(Z(H)) $ 的光滑集重合？

主要发现

• 辛反射代数 $ H = H_{1,\mathbf{c}} $ 是中心子代数 $ Z_0 = (S(\mathfrak{h})^p)^\Gamma \otimes (S(\mathfrak{h}^*)^p)^\Gamma $ 上的自由模，其秩为 $ p^{2n}|\Gamma|^3 $。
• 代数 $ H $ 的Goldie秩为 $ |\Gamma| $，确认了有理哈里奇尼情形下的一个猜想。
• 代数 $ H $ 的PI-次数为 $ p^n|\Gamma| $，即单 $ H $-模的最大维数。
• 每个具有最大 $ k $-维数 $ p^n|\Gamma| $ 的不可约 $ H $-模均为秩 $ p^n $ 的正则 $ k\Gamma $-模，确认了表示结构的一个约束。
• 代数 $ H $ 的Azumaya集与 $ \mathrm{Maxspec}(Z(H)) $ 的光滑集重合，意味着最大维数的单模仅在中心的光滑点处存在。
• 中心 $ Z(H) $ 为诺特整环，且 $ H $ 是其自身的有限模，这与特征零情形下当 $ t \neq 0 $ 时 $ Z(H) = k $ 的情况形成关键差异。