[论文解读] Symplectic resolutions of the Hilbert squares of ADE surface singularities

Ryo Yamagishi|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文证明了ADE型表面奇点上两个点的Hilbert概形的解析芽，与相应ADE型李代数中次次正则幂零轨的Slodowy截面之间存在同构关系。通过构造辛解消并利用辛结构与泊松结构分析其中心纤维，作者证明了奇点的类型完全由中心纤维决定，将经典的Brieskorn-Slodowy结果推广至次次正则情形。

ABSTRACT

We study symplectic resolutions of the Hilbert scheme of two points on a surface with one ADE-singularity. We also characterize such singularities by central fibers of their symplectic resolutions. As an application, we show that these singularities are isomorphic to the Slodowy slices which are transversal to the `sub-subregular' orbits in the nilpotent cones of ADE-types.

研究动机与目标

• 通过其辛解消的中心纤维来刻画ADE型表面奇点。
• 证明奇点的解析类型由解消中中心纤维的同构类唯一确定。
• 建立ADE型表面奇点上两点Hilbert概形与ADE型李代数中Slodowy截面之间的对应关系。
• 将Brieskorn-Slodowy理论从正则轨推广至次次正则轨情形。

提出的方法

• 通过从最小解消Hilb²(Γ̃)出发的逐次吹去与Mukai翻转，构造ADE型表面奇点Γ的Hilb²(Γ)的辛解消。
• 显式描述Hilb²(Γ)的定义方程及解消中中心纤维F的结构。
• 利用辛结构与泊松结构分析中心纤维的形式邻域，证明其由纤维本身唯一决定。
• 证明形式邻域的全局结构由上同调群控制，且在同构意义下唯一确定。
• 比较Hilb²(Γ)的辛解消中心纤维与ADE型李代数中Slodowy截面的中心纤维。
• 利用Lorist对次次正则轨的Springer纤维的描述，证明中心纤维之间的同构，从而推出奇点的芽同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 四维辛奇点的解析类型是否可由其辛解消中中心纤维的同构类唯一确定？
• RQ2 ADE型表面奇点上两点Hilbert概形与ADE型李代数中的Slodowy截面之间是否存在对应关系？
• RQ3 Hilb²(Γ)的辛解消中心纤维与次次正则轨的Slodowy截面中心纤维是否一致？
• RQ4 辛结构与泊松结构如何约束辛解消中拉格朗日子流形的形式邻域？
• RQ5 Brieskorn-Slodowy结果能否从正则轨推广至次次正则轨情形？

主要发现

• Hilb²(Γ)的辛解消中心纤维唯一确定了奇点的解析类型，如定理3.6所示。
• 解消中中心纤维的形式邻域同构于该纤维的余切丛，且其全局结构由纤维的同构类型唯一决定。
• 对于ADE型An（n ≥ 3）与En，Hilb²(Γ)与次次正则轨的Slodowy截面具有同构的中心纤维。
• 对于Dn（n ≥ 4），当0维辛叶的类型匹配时，Hilb²(Γ)与Slodowy截面的中心纤维同构。
• Hilb²(Γ)在其唯一一个0维辛叶处的解析芽，同构于次次正则轨处Slodowy截面的解析芽，如定理4.2所述。
• An型结果推广了Manolescu的工作，作者猜想类似结果可能对Dn与En成立，甚至可能推广至非单连通类型。