[论文解读] Symplectormophism groups of non-compact manifolds, orbifold balls, and a space of Lagrangians

Richard Hind, Martin Pinsonnault+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文建立了具有锥形奇点的奇异球体的辛嵌入空间与赫兹伯鲁赫曲面的凯勒等距群之间的同伦等价，证明了在 RP² 的余切丛中拉格朗日子射平面的空间是弱收缩的。通过辛化与接触几何，将非紧致流形的辛同胚群与代数曲面的等距群联系起来，拓展了关于辛打包和拉格朗日空间的已知结果。

ABSTRACT

We establish connections between contact isometry groups of certain contact manifolds and compactly supported symplectomorphism groups of their symplectizations. We apply these results to investigate the space of symplectic embeddings of balls with a single conical singularity at the origin. Using similar ideas, we also prove the longstanding expected result that the space of Lagrangian $\RR P^2$ in $T^*\RR P^2$ is weakly contractible.

研究动机与目标

• 理解作为接触流形辛化所得的非紧致辛流形的辛同胚群的同伦类型。
• 使用几何与拓扑技术分析具有锥形奇点的奇异球体的辛嵌入空间。
• 证明在 RP² 的余切丛中拉格朗日子射平面的空间是弱收缩的，从而拓展了关于拉格朗日球面的已知结果。
• 建立辛化路易斯空间的紧支集辛同胚与代数曲面等距群的基于基本点的环路空间之间的对应关系。

提出的方法

• 将 L(n,1) 的辛化的辛同胚群约化为线丛 O(n) 的全空间去掉零截面后的穿孔空间的辛同胚群。
• 利用 sL(n,1) 与赫兹伯鲁赫曲面 F_n 中无穷远截面与零截面的补集的识别，将辛同胚群与凯勒等距群联系起来。
• 应用辛打包与同伦理论，证明具有锥形奇点的奇异球体的辛嵌入空间同伦等价于 F_n 的凯勒等距群 K_n。
• 在奇异球体上构造线丛，将紧支集微分同胚与平凡化射影化切丛的截面联系起来。
• 利用区间上微分同胚空间的收缩性与到 R 的映射空间的收缩性，证明与平凡线丛同伦的线丛空间是收缩的。
• 建立奇异球体的紧支集微分同胚空间与这类线丛空间之间的同伦等价，从而证明微分同胚群的收缩性。

实验结果

研究问题

• RQ1 路易斯空间 L(n,1) 的辛化中紧支集辛同胚群的同伦类型是什么？
• RQ2 具有 n 阶锥形奇点的奇异球体的辛嵌入如何与代数曲面的等距群相关联？
• RQ3 T*RP² 中拉格朗日子射平面子流形的空间是否弱收缩，其与已知拉格朗日球面结果有何关联？
• RQ4 能否通过几何与拓扑约化方法证明大小为 1 的奇异球体的辛同胚群是收缩的？
• RQ5 赫兹伯鲁赫曲面 F_n 的凯勒等距群在分类奇异球体的辛嵌入中起什么作用？

主要发现

• L(n,1) 的辛化中紧支集辛同胚群弱同伦等价于 SU(2) 的基于基本点的环路空间，具有可数个连通分支。
• 大小为 ε ∈ (0,1) 的奇异球体嵌入到大小为 1 的奇异球体中的辛嵌入空间同伦等价于赫兹伯鲁赫曲面 F_n 的凯勒等距群 K_n。
• 大小为 1 的奇异球体的约化紧支集辛同胚群是收缩的。
• 在 C^∞-拓扑下，T*RP² 中拉格朗日子射平面子流形的空间是弱收缩的。
• 当 n=1 时，结果退化为已知事实：空间 B(ε)→B(1) 的辛嵌入形变 retract 到 U(2)。
• 通过线丛与同伦技术，证明了具有 n 阶锥形奇点的 4 维奇异球体的紧支集微分同胚空间是收缩的。