[论文解读] Synchronization is full measure for all $\alpha$-deformations of an infinite class of continued fraction transformations

Kariane Calta, Cor Kraaikamp+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文证明，对于与三角形Fuchsian群G3,n相关的无限族α-变形连分数映射，使区间端点轨道同步的参数α的集合具有全Lebesgue测度。通过使用可接受字的树结构与群论恒等式，作者在三个参数区域中完全刻画了同步集合，证明非同步仅发生在测度为零的Cantor集上，从而为这些映射的自然扩张与熵函数的构造奠定了基础。

ABSTRACT

We study an infinite family of one-parameter deformations, so-called $\alpha$-continued fractions, of interval maps associated to distinct triangle Fuchsian groups. In general for such one-parameter deformations, the function giving the entropy of the map indexed by $\alpha$ varies in a way directly related to whether or not the orbits of the endpoints of the map synchronize. For two cases of one-parameter deformations associated to the classical case of the modular group $ ext{PSL}_2(\mathbb Z)$, the set of $\alpha$ for which synchronization occurs has been determined. Here, we explicitly determine the synchronization sets for each $\alpha$-deformation in our infinite family. (In general, our Fuchsian groups are not subgroups of the modular group, and hence the tool of relating $\alpha$-expansions back to regular continued fraction expansions is not available to us.) A curiosity here is that all of our synchronization sets can be described in terms of a single tree of words. In a paper in preparation, we identify the natural extensions of our maps, as well as the entropy functions associated to each deformation.

研究动机与目标

• 完全刻画使α-变形连分数映射端点轨道同步的α值集合。
• 将同步理论从模群推广至无限族三角形Fuchsian群G3,n。
• 使用单一可接受字的树结构，即使在常规连分数展开不可用时，也对同步集合提供完整描述。
• 为后续论文中确定这些映射的自然扩张与熵函数奠定基础。

提出的方法

• 引入与三角形Fuchsian群G3,n相关的单参数区间映射族T3,n,α，推广经典α-连分数。
• 使用可接受字的树V来索引同步区间，可接受性由数字展开及字序列的全分支性质决定。
• 应用涉及矩阵A、B、C和U的群元素恒等式，将轨道动力学与G3,n中的代数关系联系起来。
• 利用归纳法与遍历性论证（源自α=0情形）证明，同步区间的补集为测度为零的Cantor集。
• 分析三种参数区域：α < γ3,n、α > ϵ3,n，以及γ3,n < α < ϵ3,n，每种区域需采用不同的基于字与群论的论证。
• 通过左右轨道展开始终保持可接受性来建立同步，端点由首次失去可接受性决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些α值，区间映射T3,n,α的左、右端点轨道最终实现同步？
• RQ2 在非模三角形Fuchsian群的α-变形中，是否可以不依赖常规连分数展开，完全描述同步集合？
• RQ3 G3,n中的群论恒等式如何与参数空间中同步区间的结构相关联？
• RQ4 对于这些变形，非同步α值的集合在测度上是否可忽略？
• RQ5 是否能通过单一字的树结构，统一编码所有n ≥ 3情形下的同步结构？

主要发现

• 对所有n ≥ 3，使T3,n,α的左、右端点轨道同步的α ∈ (0,1)的集合具有全Lebesgue测度。
• 同步集合是Z≠0 × V的不相交并集，其中V为可接受字的树，每个区间对应一对可接受的数字展开。
• 同步集合的补集为Lebesgue测度为零的Cantor集，其证明基于α=0映射的遍历性。
• 同步精确发生在左右轨道展开始终保持可接受性时，端点由首次失去可接受性决定。
• 同步区间由涉及矩阵A、C和U的群恒等式完全刻画，每个区间的端点均有显式公式。
• 同步集合的结构在所有n ≥ 3中保持一致，可接受字的树V提供了与n无关的统一编码机制。