[论文解读] Syntactic Complexity of Finite/Cofinite, Definite, and Reverse Definite Languages

Janusz Brzozowski, David Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2012

semigroups and automata theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过分析状态复杂度 $n$ 下语法幺半群的大小，研究了有限/共有限、确定性以及反向确定性语言的句法复杂度。对于有限/共有限和反向确定性语言，建立了紧致的上界 $(n-1)!$；对于确定性语言，提出了 $floor e\cdot(n-1)!\rfloor$ 为紧致上界的猜想，并在 $n \leq 4$ 时得到验证，同时给出了相应的字母表大小要求。

ABSTRACT

We study the syntactic complexity of finite/cofinite, definite and reverse definite languages. The syntactic complexity of a class of languages is defined as the maximal size of syntactic semigroups of languages from the class, taken as a function of the state complexity n of the languages. We prove that (n-1)! is a tight upper bound for finite/cofinite languages and that it can be reached only if the alphabet size is greater than or equal to (n-1)!-(n-2)!. We prove that the bound is also (n-1)! for reverse definite languages, but the minimal alphabet size is (n-1)!-2(n-2)!. We show that \lfloor e\cdot (n-1)! floor is a lower bound on the syntactic complexity of definite languages, and conjecture that this is also an upper bound, and that the alphabet size required to meet this bound is \floor{e \cdot (n-1)!} - \floor{e \cdot (n-2)!}. We prove the conjecture for n\le 4.

研究动机与目标

• 确定有限/共有限、确定性及反向确定性语言的句法复杂度（语法幺半群大小）作为状态复杂度 $n$ 的函数的最大值。
• 确定在每一类语言中实现最大句法复杂度所需的最小字母表大小。
• 为有限/共有限和反向确定性语言建立紧致上界，并对确定性语言提出猜想并加以验证。
• 探讨尽管存在对偶性，确定性与反向确定性语言在句法复杂度界上仍存在不对称性的原因。
• 扩展对星号自由语言子类在句号深度层次中句法复杂度的理解。

提出的方法

• 使用语法同余和Myhill-Nerode等价关系，刻画每一类语言的最小DFA的变换幺半群。
• 定义并分析对应于确定性语言的幺半群 $B_n$，识别其结构与生成元。
• 运用组合计数技术计算 $B_n$ 的最小生成集 $H_n$ 的大小，得出 $|H_n| = \ufb02oor e(n-1)!\rfloor - \ufb02oor e(n-2)!\rfloor$。
• 利用其变换幺半群的结构特性，证明反向确定性语言和有限/共有限语言的句法复杂度恰好为 $(n-1)!$。
• 构建具有 $n$ 个状态且字母表大小符合推导边界的最小DFA，通过可达性和可区分性证明其最小性与正确性。
• 应用指数生成函数与阶乘基界分析句法复杂度的增长，特别是针对确定性语言。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有状态复杂度 $n$ 的有限/共有限语言的句法复杂度的紧致上界是什么？
• RQ2 具有状态复杂度 $n$ 的反向确定性语言的句法复杂度的紧致上界是什么？
• RQ3 具有状态复杂度 $n$ 的确定性语言可实现的最大句法复杂度是多少？需要多大的字母表才能达到该复杂度？
• RQ4 能否对所有 $n$ 证明确定性语言的猜想上界 $\ufb02oor e(n-1)!\rfloor$？
• RQ5 尽管语法同余具有对称性，为何句法复杂度界在确定性与反向确定性语言之间仍缺乏左右对称性？

主要发现

• 具有状态复杂度 $n$ 的有限/共有限语言的句法复杂度恰好为 $(n-1)!$，且仅当字母表大小至少为 $(n-1)! - (n-2)!$ 时该界才是紧致的。
• 具有状态复杂度 $n$ 的反向确定性语言的句法复杂度同样为 $(n-1)!$，但需字母表大小为 $(n-1)! - 2(n-2)!$ 才能达到该界。
• 对于确定性语言，$\ufb02oor e(n-1)!\rfloor$ 是句法复杂度的下界，且可通过大小为 $\ufb02oor e(n-1)!\rfloor - \ufb02oor e(n-2)!\rfloor$ 的字母表实现该界。
• 对确定性语言的猜想上界 $\ufb02oor e(n-1)!\rfloor$ 在 $n \leq 4$ 时已被证明为真。
• 确定性语言的变换幺半群 $B_n$ 的最小生成集 $H_n$ 的大小为 $\ufb02oor e(n-1)!\rfloor - \ufb02oor e(n-2)!\rfloor$，与所需字母表大小一致。
• 构建一个具有 $n$ 个状态且变换幺半群为 $B_n$ 的最小DFA，确认其接受的语言为确定性语言，句法复杂度为 $\ufb02oor e(n-1)!\rfloor$。