[论文解读] Synthesis of unitaries with Clifford+T circuits

Vadym Kliuchnikov|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用 16

一句话总结

本文提出了一种新方法，使用 Clifford+T 电路对任意 n-量子比特酉算符进行近似，门数为 O(4ⁿn(log(1/ε) + n))，并使用两个辅助量子比特，通过在环 ℤ[i, 1/√2] 上进行舍入以及利用 Householder 反射实现精确合成。该方法实现了门数的渐近最优，并优于以往需要双指数资源的精确合成方法。

ABSTRACT

We describe a new method for approximating an arbitrary $n$ qubit unitary with precision $\varepsilon$ using a Clifford and T circuit with $O(4^{n}n(\log(1/\varepsilon)+n))$ gates. The method is based on rounding off a unitary to a unitary over the ring $\mathbb{Z}[i,1/\sqrt{2}]$ and employing exact synthesis. We also show that any $n$ qubit unitary over the ring $\mathbb{Z}[i,1/\sqrt{2}]$ with entries of the form $(a+b\sqrt{2}+ic+id\sqrt{2})/2^{k}$ can be exactly synthesized using $O(4^{n}nk)$ Clifford and T gates using two ancillary qubits. This new exact synthesis algorithm is an improvement over the best known exact synthesis method by B. Giles and P. Selinger requiring $O(3^{2^{n}}nk)$ elementary gates.

研究动机与目标

• 开发一种仅使用 Clifford 门和 T 门对任意 n-量子比特酉算符进行高效近似的算法。
• 与先前方法相比，减少在环 ℤ[i, 1/√2] 上对酉算符进行精确合成的门数。
• 提供一种保持结构的分解方法，避免使用平方根，并在基本运算下保持代数封闭性。
• 在固定量子比特数下，对近似和精确合成均实现门数的渐近最优。
• 改进以往多量子比特酉算符精确合成算法中门数为双指数的问题。

提出的方法

• 该方法使用 Householder 分解，将 n-量子比特酉算符表示为 2ⁿ 个反射算符与一个对角酉算符的乘积，其中对角酉算符被设为单位矩阵。
• 反射算符由单位向量 |wⱼ±⟩ = (|1⟩⊗|j⟩ ± |0⟩⊗|uⱯ⟩)/√2 构造，其中 |uⱼ⟩ 是目标酉算符 U 的列向量。
• 该算法将每个列向量 |uⱼ⟩ 舍入为 ℤ[i, 1/√2] 中的向量，保持在加法、减法和乘以 1/√2 下的代数结构。
• 每个反射通过一个受控构造近似，使用一个辅助量子比特和两个来自 ℤ[i, 1/√2] 的向量的反射，从而实现精确的 Clifford+T 合成。
• 近似精度通过将每个条目舍入到 O(log(1/ε)) 位来控制，确保 Frobenius 距离 ≤ ε。
• 在 ℤ[i, 1/√2] 上对酉算符的精确合成通过两个辅助量子比特和 O(4ⁿnκ) 个门实现，其中 κ 是分母的指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用门数在 n 和 ε 上渐近最优的 Clifford+T 电路对任意 n-量子比特酉算符进行近似？
• RQ2 是否可以实现对 ℤ[i, 1/√2] 上酉算符的精确合成，且门数相比先前方法呈指数级改进？
• RQ3 一种避免使用平方根并保持基本运算下封闭性的分解方法，是否能实现更高效的合成？
• RQ4 是否可以通过在合成过程中保持目标酉算符的结构，来提高对部分指定或稀疏矩阵的效率？
• RQ5 是否可能在保持精确和近似合成高效门数的同时，减少辅助量子比特的需求？

主要发现

• 本文证明，任何 n-量子比特酉算符均可在 Frobenius 距离 ε 内，使用 O(4ⁿn(log(1/ε) + n)) 个 Clifford 和 T 门以及最多两个辅助量子比特实现近似。
• 该方法在固定 n 的情况下实现了门数的渐近最优，与信息论下限一致。
• 在 ℤ[i, 1/√2] 上对 n-量子比特酉算符的精确合成，其条目形式为 (a + b√2 + ic + id√2)/2ᵏ，使用两个辅助量子比特时，门数为 O(4ⁿnk)。
• 该精确合成方法优于 Giles 和 Selinger 的先前方法（门数为 O(3²ⁿnk)），将指数从双指数降低为指数级。
• 该算法避免计算平方根，仅使用加法、减法和乘以 1/√2，从而保持在 ℤ[i, 1/√2] 中的成员资格。
• 当条目被舍入到精度 2⁻ᵐ 时，其中 m = ⌈n/2 + log₂(1/ε²)⌉ + 5，原始与近似反射算符之间的 Frobenius 距离被限制在 ε 以内。