[论文解读] Synthetic Homology in Homotopy Type Theory

R. L. Graham|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过定义稳定同伦群并利用埃伦伯格-麦克莱恩谱将其扩展为完整的同调理论，在同伦类型理论中建立了合成同调。证明了该构造满足埃伦伯格-斯蒂恩罗德公理，为类型理论中的计算机可验证同调提供了基础，建立在合成同伦理论和高阶归纳类型先前工作的基础之上。

ABSTRACT

This paper defines homology in homotopy type theory, in the process stable homotopy groups are also defined. Previous research in synthetic homotopy theory is relied on, in particular the definition of cohomology. This work lays the foundation for a computer checked construction of homology.

研究动机与目标

• 在不依赖胞腔结构或经典集合论构造的前提下，定义同伦类型理论中的同调。
• 将合成稳定同伦理论扩展，构造一个满足埃伦伯格-斯蒂恩罗德公理的同调理论。
• 通过利用高阶归纳类型和同一性公理，提供一个形式化且可计算机验证的同调框架。
• 为依赖类型理论中同调代数的机械化证明奠定基础。
• 解决形式化同伦理论中出现的余极限和高阶路径的奠基性挑战。

提出的方法

• 使用弗罗本纽斯悬垂定理和布莱克尔斯-马西定理定义稳定同伦群 $\pi_n^s(-)$。
• 通过自然性和函子性，为固定谱 $K$ 构造 $\pi_n^s(- \land K)$ 作为同调理论。
• 将构造扩展至预谱 $K_i$ 的 $\operatorname{colim}_i \pi_{n+i}^s(X \land K_i)$，并证明其构成一个同调理论。
• 采用立方类型理论方法处理高阶路径和路径复合，解决计算复杂性问题。
• 利用现有埃伦伯格-麦克莱恩空间和上同调的形式化，定义具有系数的正规同调。
• 应用自然性和余极限论证，验证悬垂与正合性公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定谱 $K$，$\pi_n^s(- \land K)$ 是否满足同调理论的公理？
• RQ2 能否证明 $\operatorname{colim}_i \pi_{n+i}^s(X \land K_i)$ 构成一个预谱 $K_i$ 的同调理论？
• RQ3 典范映射 $\bigoplus_i H_n(X_i) \to H_n(\bigvee_i X_i)$ 是否为同构，从而蕴含无限可加性？
• RQ4 对于带基点的族 $X_n$，是否成立 $\Omega \operatorname{colim}_n X(n) \simeq \operatorname{colim}_n \Omega X(n)$？
• RQ5 在类型理论中如何处理路径空间的余极限，以支持同调构造？

主要发现

• 稳定同伦群 $\pi_n^s(-)$ 构成一个同调理论，如推论 2.36 所证。
• 对于固定谱 $K$，构造 $\pi_n^s(- \land K)$ 是一个同调理论，如推论 3.5 所示。
• 余极限构造 $\operatorname{colim}_i \pi_{n+i}^s(X \land K_i)$ 是一个同调理论，如推论 3.17 所确立。
• 通过设定 $K_i = K(G,i)$（即埃伦伯格-麦克莱恩谱），可恢复具有系数 $G$ 的正规同调。
• 由于 $\operatorname{susp}$ 的自然性以及 $\pi_n^s(- \land K)$ 的函子性，满足悬垂公理。
• 同调理论的正合性源于 $\pi_n^s(- \land K)$ 的正合性及截断余极限的性质。