[论文解读] Syntomic cohomology and Beilinson's Tate conjecture for $K_2$

Masanori Asakura, Kanetomo Sato|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文在 $p$-进域上的椭圆曲面背景下，建立了 $K_2$ 的平展上同调的同调类群的合成上同调界，证明了合成上同调映射的像位于形式埃斯泰因系的子空间中。这为伽罗瓦不变平展上同调的秩提供了新的上界，使得在特定情形下可验证贝林森的塔特猜想对 $K_2$ 成立，并证明了某些 $K3$ 曲面在 $\mathbb{Q}_p$ 上的扭 0-循环群的有限性。关键创新在于对 Tate 曲线的 $p$-进霍德理论计算，以及利用 Fontaine-Messing 理论将合成上同调与平展上同调联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we study an analogue of the Tate conjecture for $K_2$ of U, the complement of split multiplicative fibers in an elliptic surface. A main result is to give an upper bound of the rank of the Galois fixed part of the etale cohomology $H^2(\bar{U},Q_p(2))$. As an application, we give an elliptic K3 surface $X$ over a p-adic field for which the torsion part of the Chow group $CH_0(X)$ of 0-cycles is finite. This would be the first example of a surface $X$ over a p-adic field whose geometric genus is non-zero and for which the torsion part of $CH_0(X)$ is finite.

研究动机与目标

• 通过合成上同调与形式埃斯泰因系，建立 $H^2_{\text{ét}}(\overline{U}, \mathbb{Q}_p(2))^{G_K}$ 的秩的新上界。
• 通过构造足够多的 $K_2$-符号以填满上界，验证特定情形下贝林森的塔特猜想对 $K_2$ 成立。
• 证明在具有良好约化且具有分裂乘法纤维的 $\mathbb{Q}_p$ 上的 $K3$ 曲面 $X$ 上，其 Chow 群 $\mathrm{CH}_0(X)_{\text{tors}}$ 的扭子群是有限的。
• 通过 $p$-进霍德理论，将贝林森关于模曲线的埃斯泰因符号定理推广至任意椭圆曲面。

提出的方法

• 利用在分裂乘法纤维处具有对数极点的合成上同调，定义从 $H^2_{\text{syn}}(\mathscr{X}(\mathscr{D}), \mathscr{S}_{\mathbb{Z}_p}(2))$ 到 $\mathscr{X}$ 上全局对数 2-形式的映射。
• 将形式埃斯泰因系的空间 $\mathrm{E}(\mathscr{X}, \mathscr{D})_{\mathbb{Z}_p}$ 定义为 $\Gamma(\mathscr{X}, \Omega^2_{\mathscr{X}/R}(\log \mathscr{D}))$ 的子空间。
• 通过在 Tate 曲线上进行详细的 $p$-进霍德理论计算，证明合成上同调映射的像位于 $\mathrm{E}(\mathscr{X}, \mathscr{D})_{\mathbb{Z}_p}$ 内。
• 利用 Fontaine-Messing 同构将合成上同调与平展上同调联系起来，得到不等式 $\dim_{\mathbb{Q}_p} c_{\text{ét}}(K_2(U)\otimes \mathbb{Q}_p) \leq \mathrm{rank}_{\mathbb{Z}_p} \mathrm{E}(\mathscr{X}, \mathscr{D})_{\mathbb{Z}_p}$。
• 利用正规化映射 $K_1(X)^{(2)} \otimes \mathbb{Q}_\ell \to \mathrm{NS}(Y)_{\mathbb{Q}_\ell}$ 的满射性以及 $H^3(X, \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell(2))$ 的可除性，证明 $\mathrm{CH}_0(X)_{\text{tors}}$ 的有限性。
• 应用 Hochschild-Serre 族谱序列与 Deligne 关于弗罗贝尼乌斯迹独立性的定理，证明伽罗瓦不变上同调群的可除性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{Q}_p$ 上的椭圆曲面背景下，合成上同调能否为 $H^2_{\text{ét}}(\overline{U}, \mathbb{Q}_p(2))^{G_K}$ 的秩提供新的上界？
• RQ2 合成上同调映射的像是否落入形式埃斯泰因系空间 $\mathrm{E}(\mathscr{X}, \mathscr{D})_{\mathbb{Z}_p}$ 中，从而将贝林森定理从模曲线推广至一般椭圆曲面？
• RQ3 在何种条件下，平展陈类映射 $c_{\text{ét}}: K_2(U) \otimes \mathbb{Q}_p \to H^2_{\text{ét}}(\overline{U}, \mathbb{Q}_p(2))^{G_K}$ 是满射，从而验证贝林森对 $K_2$ 的塔特猜想？
• RQ4 对于在 $\mathbb{Q}_p$ 上具有良好约化且具有分裂乘法纤维的 $K3$ 曲面 $X$，其扭子群 $\mathrm{CH}_0(X)_{\text{tors}}$ 是否有限？
• RQ5 能否从正规化映射的满射性与上同调群的可除性推导出 $\mathrm{CH}_0(X)_{\text{tors}}$ 的有限性？

主要发现

• 合成上同调映射 $H^2_{\text{syn}}(\mathscr{X}(\mathscr{D}), \mathscr{S}_{\mathbb{Z}_p}(2)) \to \Gamma(\mathscr{X}, \Omega^2_{\mathscr{X}/R}(\log \mathscr{D}))$ 的像包含于形式埃斯泰因系空间 $\mathrm{E}(\mathscr{X}, \mathscr{D})_{\mathbb{Z}_p}$ 中，确立了关键的几何约束。
• 不等式 $\dim_{\mathbb{Q}_p} c_{\text{ét}}(K_2(U)\otimes \mathbb{Q}_p) \leq \mathrm{rank}_{\mathbb{Z}_p} \mathrm{E}(\mathscr{X}, \mathscr{D})_{\mathbb{Z}_p}$ 为伽罗瓦不变平展上同调的秩提供了新的上界，在某些情形下严格小于分裂乘法纤维的数量。
• 当 $c_{\text{ét}}(K_2(U)\otimes \mathbb{Q}_p)$ 的维数等于上界时，贝林森对 $K_2$ 的塔特猜想在具体例子中得到验证，意味着平展陈类映射是满射。
• 对于在 $\mathbb{Q}_p$ 上具有良好约化且具有分裂乘法纤维的 $K3$ 曲面 $X$，其扭子群 $\mathrm{CH}_0(X)_{\text{tors}}$ 是有限的，将已知的有限性结果推广至 $p$-进域。
• 正规化映射 $K_1(X)^{(2)} \otimes \mathbb{Q}_\ell \to \mathrm{NS}(Y)_{\mathbb{Q}_\ell}$ 是满射，且对几乎所有 $\ell$，$H^3(X, \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell(2))$ 是可除的，这两者共同蕴含 $\mathrm{CH}_0(X)_{\text{tors}}$ 的有限性。
• 有限性证明依赖于弗罗贝尼乌斯迹的独立性（Deligne 定理）与伽罗瓦不变上同调的可除性，表明对几乎所有 $\ell$，有 $H^1(\mathbb{Q}_p, H^2(\overline{X}, \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell(2))) \simeq N_\ell \otimes \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell$ 是可除的。