[论文解读] Systematic Constructions of Fracton Theories

Djordje Radicevic|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2019

Quantum many-body systems参考文献 41被引用 11

一句话总结

本文引入了一类新的规范理论 $ frac{1}{2}$，即 $ frac{1}{2}$，其通过允许秩-$k$ 场的规范变换由秩-$(k-p)$ 的参数来参数化，从而推广了高阶规范理论。该构造使得在任意三维晶格上系统地定义任意子理论成为可能，其中在立方晶格上的 $ frac{1}{2}$ 理论恰好与 X-cube 模型对偶，而 U(1) 版本则表现出与标准张量规范理论描述不一致的无能隙任意子相。

ABSTRACT

Fracton theories possess exponentially degenerate ground states, excitations with restricted mobility, and nontopological higher-form symmetries. This paper shows that such theories can be defined on arbitrary spatial lattices in three dimensions. The key element of this construction is a generalization of higher-form gauge theories to so-called $\mathfrak{F}_p$ gauge theories, in which gauge transformations of rank-$k$ fields are specified by rank-$(k - p)$ gauge parameters. The $\mathbb{Z}_2$ rank-two theory of type $\mathfrak{F}_2$, placed on a cubic lattice and coupled to scalar matter, is shown to have a topological phase exactly dual to the well-known X-cube model. Generalizations of this example yield novel fracton theories. In the continuum, the $\mathrm{U}(1)$ rank-two theory of type $\mathfrak{F}_2$ is shown to have a perturbatively gapless fracton regime that cannot be consistently interpreted as a tensor gauge theory of any kind. The compact scalar fields that naturally couple to this $\mathfrak{F}_2$ theory also show gapless fracton behavior; on a cubic lattice they have a conserved $\mathrm{U}(1)$ charge and dipole moment, but these particular charges are not necessarily conserved on more general lattices. The construction straightforwardly generalizes to $\mathfrak{F}_2$ theories of nonabelian rank-two gauge fields, giving first examples of pure nonabelian higher-rank theories.

研究动机与目标

• 克服现有任意子理论的局限性，即其仅限于具有立方对称性或特定几何结构的晶格。
• 为在任意三维胞腔分解上构建任意子理论提供一个通用框架，而不仅限于立方或层状晶格。
• 表明关键的任意子特征——指数级简并基态简并度、受限的运动性以及非拓扑的高阶对称性——可在不依赖偶极矩守恒或立方对称性的情况下出现。
• 将高阶规范理论推广至允许非阿贝尔规范群，从而提供纯非阿贝尔高阶规范理论的首个实例。
• 探索这些理论的数学基础，包括新颖的边界算符以及与新型上同调理论潜在关联的可能性。

提出的方法

• 引入 $ frac{1}{2}$ 规范理论，其中秩-$k$ 场的规范变换由秩-$(k-p)$ 的规范参数控制，推广了标准的高阶规范理论。
• 在具有 U(1) 或 $ frac{1}{2}$ 规范场的三维晶格上定义 $ frac{1}{2}$ 理论，使用广义边界算符 $ frac{1}{2}$ 来定义场强和高斯定律。
• 证明在立方晶格上，$ frac{1}{2}$ 理论在 $ frac{1}{2}$ 规范群下耦合标量物质时，在拓扑极限下恰好等价于 X-cube 模型。
• 分析 U(1) $ frac{1}{2}$ 理论的连续极限，表明其支持一个微扰无能隙的任意子相，该相无法被一致地解释为标准张量规范理论。
• 在非立方晶格（例如体心立方）上构造实例，表明电荷和偶极矩守恒并非实现任意子行为的必要条件。
• 将形式化推广至非阿贝尔规范群，从而得到首个已知的纯非阿贝尔高阶规范理论实例。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖立方或层状对称性的任意三维晶格上系统地构建任意子理论？
• RQ2 偶极矩守恒是否为实现类似任意子的行为（如受限运动性和指数级基态简并度）所必需？
• RQ3 能否用 $ frac{1}{2}$ 规范理论的连续极限来描述一个无法被解释为标准张量规范理论的无能隙任意子相？
• RQ4 $ frac{1}{2}$ 理论是否可推广至非阿贝尔情形？若可，其物理和数学性质为何？
• RQ5 广义边界算符 $ frac{1}{2}$ 的数学结构是什么？它们是否导致新的上同调不变量或拓扑不变量？

主要发现

• 在立方晶格上，$ frac{1}{2}$ 理论在 $ frac{1}{2}$ 规范群下耦合标量物质时，在拓扑极限下恰好与 X-cube 模型对偶。
• U(1) $ frac{1}{2}$ 理论在连续极限下表现出一个微扰无能隙的任意子区域，该区域无法被一致地描述为对称张量规范理论。
• 在体心立方晶格上，$ frac{1}{2}$ 理论在不依赖电荷或偶极矩守恒的情况下仍能支持任意子行为。
• $ frac{1}{2}$ 构造可推广至任意规范群，包括非阿贝尔群，从而得到首个已知的纯非阿贝尔高阶规范理论实例。
• 该理论在任意三维晶格上表现出指数级基态简并度和非拓扑的高阶对称性，即使在无物质或无立方对称性的情况下亦然。
• 广义边界算符 $ frac{1}{2}$ 定义了一种类代数结构，可能构成一种新型上同调理论的基础，具有潜在的代数拓扑应用价值。