[论文解读] Systems of transversal sections near critical energy levels of Hamiltonian systems in $\mathbb{R}^4$

Naiara V. de Paulo, Pedro A. S. Salomão|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文在四维哈密顿系统中，于鞍-中心平衡点附近的临界值能量面上，建立了2-3叶状结构（一种具有两个绑定周期轨道的奇异叶状结构）的存在性。通过在辛化空间中使用伪全纯曲线，证明了到李雅普诺夫轨道（指标2）的同宿轨道的存在性，并表明某些全纯曲线必然自相交或无限次相交，暗示了临界能量面附近的丰富动力学结构。

ABSTRACT

In this article we study Hamiltonian flows associated to smooth functions $H:\mathbb{R}^4 o \mathbb{R}$ restricted to energy levels close to critical levels. We assume the existence of a saddle-center equilibrium point $p_c$ in the zero energy level $H^{-1}(0)$. The Hamiltonian function near $p_c$ is assumed to satisfy Moser's normal form and $p_c$ is assumed to lie in a strictly convex singular subset $S_0$ of $H^{-1}(0)$. Then for all $E>0$ small, the energy level $H^{-1}(E)$ contains a subset $S_E$ near $S_0$, diffeomorphic to the closed $3$-ball, which admits a system of transversal sections $\mathcal{F}_E$, called a $2-3$ foliation. $\mathcal{F}_E$ is a singular foliation of $S_E$ and contains two periodic orbits $P_{2,E}\subset \partial S_E$ and $P_{3,E}\subset S_E\setminus \partial S_E$ as binding orbits. $P_{2,E}$ is the Lyapunoff orbit lying in the center manifold of $p_c$, has Conley-Zehnder index $2$ and spans two rigid planes in $\partial S_E$. $P_{3,E}$ has Conley-Zehnder index $3$ and spans a one parameter family of planes in $S_E \setminus \partial S_E$. A rigid cylinder connecting $P_{3,E}$ to $P_{2,E}$ completes $\mathcal{F}_E$. All regular leaves are transverse to the Hamiltonian vector field. The existence of a homoclinic orbit to $P_{2,E}$ in $S_E\setminus \partial S_E$ follows from this foliation.

研究动机与目标

• 研究四维哈密顿系统在存在鞍-中心平衡点的临界能量水平附近的动力学行为。
• 在临界点附近、能量水平略高于零时，构造一个横截截面系统（2-3叶状结构），该系统基于莫泽正规型。
• 通过伪全纯曲线分析，建立到李雅普诺夫周期轨道（康利-泽恩德指标2）的同宿轨道的存在性。
• 分析有限能量伪全纯曲线在靠近绑定轨道时的渐近行为和相交性质。

提出的方法

• 利用辛化空间中有限能量伪全纯曲线的理论，分析临界能量水平附近的哈密顿流。
• 应用莫泽在鞍-中心平衡点附近的哈密顿正规型，以简化局部动力学。
• 在临界水平的3-球邻域上构造一个奇异叶状结构（2-3叶状结构），其绑定轨道的康利-泽恩德指标分别为2和3。
• 利用绑定轨道的渐近算子的特征截面，分析伪全纯曲线在靠近绑定轨道时的渐近行为。
• 应用西弗林的伪全纯曲线相交理论，证明：若曲线通过同一特征截面方向趋近于指标2轨道，则它们必须重合或无限次相交。
• 在李雅普诺夫轨道附近使用马丁内特坐标，从分支互不相交的假设出发导出矛盾，从而证明曲线的自相交性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有鞍-中心平衡点的四维哈密顿系统中，临界值附近的能量面上是否存在一个横截截面系统（即2-3叶状结构）？
• RQ2 能否通过伪全纯曲线技术证明到李雅普诺夫周期轨道（指标2）的同宿轨道的存在性？
• RQ3 渐近于指标2和指标3绑定轨道的伪全纯曲线具有怎样的相交与缠绕性质？
• RQ4 绑定轨道的渐近算子及其特征截面如何约束有限能量全纯曲线的行为？
• RQ5 当两条不同的伪全纯曲线通过同一绑定轨道（指标2）的相同方向趋近时，在何种条件下它们必然无限次相交？

主要发现

• 在小正能量下，临界能量水平的3-球邻域上存在2-3叶状结构，其绑定轨道的康利-泽恩德指标分别为2和3。
• 李雅普诺夫轨道（指标2）是双曲的，在3-球边界上张成两个刚性平面，而指标3轨道在内部张成一个一维平面族。
• 一条连接指标3轨道与指标2轨道的刚性圆柱体完成了2-3叶状结构，确保所有正则叶面均横截于哈密顿向量场。
• 通过叶状结构和伪全纯曲线的性质，确立了到指标2绑定轨道的同宿轨道的存在性。
• 若两条不同的伪全纯曲线通过同一特征截面方向趋近于指标2轨道，则它们必须自相交或无限次相交。
• 通过最小正特征值特征截面（绕数为1）趋近于指标2轨道的曲线，由于指数衰减和绕数约束，必须重合或无限次相交。