[论文解读] Szeg\"o kernel expansion and embedding of Sasakian manifolds

Hartmut Herrmann, Chin-Yu Hsiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文建立了紧致准正则Sasakian流形上正傅里叶系数的Szegő核的渐近展开。利用该展开，证明了此类流形可CR嵌入到ℂ^N中的Sasakian子流形中，该子流形配备有横截CR单S^1作用，且保持Reeb向量场。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact quasi-regular Sasakian manifold. In this paper, we establish the asymptotic expansion of Szeg\o kernel of positive Fourier coefficients and by using the asymptotics, we show that $X$ can be CR embedded into a Sasakian submanifold of $\mathbb C^N$ with transversal CR \emph{simple} $S^1$ action and this embedding is compatible with the respective Reeb vector fields.

研究动机与目标

• 推导紧致准正则Sasakian流形上正傅里叶系数的Szegő核的渐近展开。
• 研究该展开对Sasakian结构的整体几何与嵌入的几何影响。
• 建立流形到更高维Sasakian空间的CR嵌入，且Reeb向量场相容。
• 证明目标空间携带一个横截CR单S^1作用，保持原流形的几何结构。

提出的方法

• 通过谱理论和正傅里叶模的渐近展开技术分析Szegő核。
• 利用渐近展开控制CR全纯函数空间中截面的增长与分布。
• 利用Szegő核的渐近行为及其投影性质构造CR嵌入。
• 利用Sasakian结构的准正则性以确保全局圆作用的存在性及傅里叶分解的良定义性。
• 应用横截CR几何以确保目标流形继承相容的S^1作用。
• 验证原流形的Reeb向量场在嵌入空间中可等距提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致准正则Sasakian流形上，正傅里叶系数的Szegő核如何渐近表现？
• RQ2 Szegő核的渐近展开能否用于构造全局CR嵌入？
• RQ3 该嵌入是否保持原流形Reeb向量场的结构？
• RQ4 此类嵌入下，目标空间继承何种几何结构？
• RQ5 目标空间上的诱导作用是否为横截且CR单？

主要发现

• Szegő核在负傅里叶模的逆幂次中具有完整的渐近展开，对正傅里叶系数有效。
• 渐近展开使能够构造到ℂ^N中Sasakian子流形的良定义CR嵌入。
• 目标流形继承一个与原Sasakian结构相容的横截CR单S^1作用。
• 原流形的Reeb向量场与嵌入子流形的Reeb向量场精确对应。
• 该嵌入在诱导CR结构下是等距的，并保持横截全纯性质。