[论文解读] Szegedy Walk Unitaries for Quantum Maps

Paweł Wocjan, Kristan Temme|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种量子算法，将Szegedy对经典随机游走的量化推广至量子映射，具体针对详细平衡的Lindbladians和量子通道。通过构建一个行走酉算符，其本征能隙相对于Lindbladian的谱间隙实现二次放大，该方法实现了开放量子系统模拟的量子加速，且可通过块编码和能量估计算法高效实现。

ABSTRACT

Szegedy developed a generic method for quantizing classical algorithms based on random walks [Proceedings of FOCS, 2004, pp. 32-41]. A major contribution of his work was the construction of a walk unitary for any reversible random walk. Such unitary posses two crucial properties: its eigenvector with eigenphase $0$ is a quantum sample of the limiting distribution of the random walk and its eigenphase gap is quadratically larger than the spectral gap of the random walk. It was an open question if it is possible to generalize Szegedy's quantization method for stochastic maps to quantum maps. We answer this in the affirmative by presenting an explicit construction of a Szegedy walk unitary for detailed balanced Lindbladians -- generators of quantum Markov semigroups -- and detailed balanced quantum channels. We prove that our Szegedy walk unitary has a purification of the fixed point of the Lindbladian as eigenvector with eigenphase $0$ and that its eigenphase gap is quadratically larger than the spectral gap of the Lindbladian. To construct the walk unitary we leverage a canonical form for detailed balanced Lindbladians showing that they are structurally related to Davies generators. We also explain how the quantization method for Lindbladians can be applied to quantum channels. We give an efficient quantum algorithm for quantizing Davies generators that describe many important open-system dynamics, for instance, the relaxation of a quantum system coupled to a bath. Our algorithm extends known techniques for simulating quantum systems on a quantum computer.

研究动机与目标

• 将Szegedy的量化框架从经典可逆马尔可夫链推广至量子映射，特别是详细平衡的Lindbladians和量子通道。
• 构造一个行走酉算符，使其本征值为0的本征态是量子映射固定点态的纯化态。
• 实现相对于Lindbladian谱间隙的二次本征能隙放大，从而在开放系统动力学模拟中实现量子加速。
• 提供一种高效量子算法，用于对Davies生成元（开放量子系统中常用）进行量化，利用块编码和能量估计。

提出的方法

• 利用详细平衡Lindbladians的规范形式，表明其在结构上等价于Davies生成元。
• 通过相对于固定点σ的相似变换引入一个量子判别式Q，该判别式与σ无关，并在不同详细平衡表述下保持不变。
• 构造一个行走酉算符W(L)，使其本征值为0的本征态为固定点σ的纯化态|σ^{1/2}}⟩ = (σ^{1/2} ⊗ I)|Ω⟩。
• 采用块编码技术高效实现行走酉算符，利用受控操作和相位估计算法编码哈密顿量的玻尔频率。
• 应用滤波旋转和受控循环移位，协同实现子等距算符T0和T1，二者结合构成行走酉算符的完整等距算符T。
• 通过在更大希尔伯特空间中使用基于反射的耦合算符，将一般详细平衡Lindbladians的量化归约为Davies生成元的特殊情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 Szegedy对经典随机游走的量化方法能否推广至由Lindbladians和量子通道控制的量子马尔可夫过程？
• RQ2 详细平衡Lindbladians的结构是什么？能否系统性地将其转化为便于量化的形式？
• RQ3 如何构造一个行走酉算符，使其本征值为0的本征态对应于量子映射固定点的纯化态？
• RQ4 行走酉算符的本征能隙能否如经典情况一般，相对于Lindbladian的谱间隙实现二次放大？
• RQ5 是否存在高效量子算法来实现此类行走酉算符，特别是针对具有已知热平衡固定点的Davies生成元？

主要发现

• 所提出的行走酉算符W(L)具有一个本征值为0的本征态，即详细平衡Lindbladian L的固定点σ的纯化态|σ^{1/2}}⟩。
• W(L)的本征能隙是L的谱间隙的二次放大，从而实现类似于经典Szegedy游走的量子加速。
• 通过Lindbladian的相似变换导出的量子判别式Q与固定点σ无关，并在不同详细平衡表述下保持相同结构。
• 该方法将一般详细平衡Lindbladians的量化归约为Davies生成元的特殊情况，后者可通过块编码和能量估计高效量化。
• 为具有热Gibbs固定点的Davies生成元构建了一种高效量子算法，前提是哈密顿能量满足舍入条件，并可通过能量估计分辨。
• 完整的行走酉算符通过受控等距算符T实现，结合使用滤波函数和相位估计算法的子等距算符T0和T1，最终通过反射R实现对扩展玻尔频率的相干叠加。